「数学は科学の女王にして奴隷」読書ノート1 MathML版

文庫版Ⅰの118pから120p ブール代数の公準と定理の証明

定義と公準       (閉じる)

0) 類、等号 = 及び不等号 ≠ 。  (閉じる)

0-0) 類あるいは集合
我々は類を定義せず、とにかくある類(これを C とおく)とあるもの( i とおく)が与えられたとき、
iC の構成要素であるか否かを直感的に認識できると仮定する。
もし iC の構成要素ならば、iC に属するという。

0-1) a = b か、その否定 a b かのどちらか一方だけが成り立つ。

0-2) a = a である。

0-3) ならば b = a である。

0-4) a, b, c が類 K に属し かつ b = c ならば a = c である。

0-5) もし a, b, c ... が 類 K の部分集合ならば、 とは
a に属する要素は全て b に属し、 b に属する要素は全て a に属する”ことである。
このことを” ab を含み、かつ ba を含むともいう。

1-1) a, b が類に属するならば a b はこの類に属する。

1-2) a, b が類に属するならば a b はこの類に属する。

2-1) 類に属する任意の a に対し a 0 = a となる要素 0 が存在する。

2-2) 類に属する任意の a に対し a 1 = a となる要素 1 が存在する。

3-1) a, b が類に属するならば a b = b a

3-2) a, b が類に属するならば a b = b a

4-1) a, b, c が類に属するならば a ( b c ) = ( a b ) ( a c )

4-2) a, b, c が類に属するならば a ( b c ) = ( a b ) ( a c )

5) 類に属する任意の a に対し a a ¯ = 1 a a ¯ = 0 を満たす要素 a ¯ が存在する。 a の補元という。

6) 類には少なくとも二つの要素が存在して、それを x, y とすれば x y となる。

定理とその証明

公準系は 1) と 2) が対になっている(双対性)ので、演算子の変換により一方から他方が導ける。対になっている定理は 1) のみ証明する。

7-1) 公準 2-1)の要素 0 は唯一つしかない。  

7-2) 公準 2-2)の要素 1 は唯一つしかない。

8-1) a a = a   

8-2) a a = a

9-1) a 1 = 1   

9-2) a 0 = 0

10-1) a ( a b ) = a   

10-2) a ( a b ) = a

11) 公準 5)の要素 a によってただ一つに定まる。   

12-1) a b = a ¯ b ¯ ¯    

12-2) a b = a ¯ b ¯ ¯

13-1) ( a b ) c = a ( b c )    

13-2) ( a b ) c = a ( b c )

参考
MathJax版
数式が化ける・表示できない場合
注意
これは「数学は科学の女王にして奴隷」読書ノート作成のための技術的検討の過程で試みに作成したページです。
その後、MathJax版 を作成しています。現時点での技術評価は かるちゃー/数式編集・数式表示 参照下さい。