2の平方根は有理数でないことの証明 MathML版

1. 2 が有理数ならば、整数 m, n があって、
2 = n m    .....式①
この時、mn とは素であるとしても一般性は失われない。  
2.式①の両辺を二乗して 2 = n 2 m 2   よって  2 m 2 = n 2    .....式②
3.式②より n 2 は偶数である。
が偶数であるとき、n も偶数である。  
よって、整数 l が存在して n = 2 l    .....式③
4.式③を式②に代入すると 2 m 2 = ( 2 l ) 2  これは  m 2 = 2 l 2
従って、m も偶数となり、m , n ともに約数 2 を持ち、最初の前提に反する結果を得る。
よって、 は有理数ではないことが証明された。
参考
より一般化した証明
数式が化ける・表示できない場合
注意
これは「数学は科学の女王にして奴隷」読書ノート作成のための技術的検討の過程で試みに作成したページです。
MathJax版 も作成しています。現時点での技術評価は かるちゃー/数式編集・数式表示 参照下さい。