「数学は科学の女王にして奴隷」読書ノート1

文庫版Ⅰの118pから120p ブール代数の公準と定理の証明

定義と公準       (開く)

定理とその証明

公準系は 1) と 2) が対になっている(双対性)ので、演算子の変換により一方から他方が導ける。対になっている定理は 1) のみ証明する。

7-1) 公準 2-1)の要素 $0$ は唯一つしかない。  (開く)

7-2) 公準 2-2)の要素 $1$ は唯一つしかない。

8-1) $a\oplus a=a$  (巾等あるいは冪等)    (開く)

8-2) $a\otimes a=a$

9-1) $a\oplus 1=1$  (開く)

9-2) $a\otimes 0=0$

10-1) $a\oplus(a\otimes b)=a$  (吸収法則)  (開く)

10-2) $a\otimes(a\oplus b)=a$

11) 公準 5)の要素 $\overline{a}$ は $a$ によってただ一つに定まる。   (開く)

12-1) $a\oplus b=\overline{\overline{a}\otimes\overline{b}}$  (ド・モルガンの定理)  (開く)

12-2) $a\otimes b=\overline{\overline{a}\oplus\overline{b}}$

13-1) $(a\oplus b)\oplus c=a\oplus(b\oplus c)$  (結合法則)   (開く)

13-2) $(a\otimes b)\otimes c=a\otimes(b\otimes c)$

参考
MathML版
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