これは「論理哲学論考」の訳者メモ:パート2です。パート1はここホームも参照ください。

5.133
独   Alles Folgern geschieht a priori.
英1 All inference takes place a priori.
英2 All deductions are made a priori.
5.134
独   Aus einem Elementarsatz lässt sich kein anderer folgern.
英1 From an elementary proposition no other can be inferred.
英2 One elementary proposition cannot be deduced form another.
5.135
独   Auf keine Weise kann aus dem Bestehen irgendeiner Sachlage auf das Bestehen einer von ihr gänzlich verschiedenen Sachlage geschlossen werden.
英1 In no way can an inference be made from the existence of one state of affairs to the existence of another entirely different from it.
英2 There is no possible way of making an inference from the existence of one situation to the existence of another, entirely different situation.
5.136
独   Einen Kausalnexus, der einen solchen Schluss rechtfertigte, gibt es nicht.
英1 There is no causal nexus which justifies such an inference.
英2 There is no causal nexus to justify such an inference.
5.1361
独   Die Ereignisse der Zukunft können wir nicht aus den gegenwärtigen erschließen.
Der Glaube an den Kausalnexus ist der Aberglaube.
英1 The events of the future cannot be inferred from those of the present.
Superstition is the belief in the causal nexus.
英2 We cannot infer the events of the future from those of the present.
Belief in the causal nexus is superstition.
5.1362
独   Die Willensfreiheit besteht darin, dass zukünftige Handlungen jetzt nicht gewusst werden können. Nur dann könnten wir sie wissen, wenn die Kausalität eine innere Notwendigkeit wäre, wie die des logischen Schlusses. - Der Zusammenhang von Wissen und Gewusstem ist der der logischen Notwendigkeit.
(»A weiß, dass p der Fall ist« ist sinnlos, wenn p eine Tautologie ist.)
英1 The freedom of the will consists in the fact that future actions cannot be known now. We could only know them if causality were an inner necessity, like that of logical deduction. -- The connexion of knowledge and what is known is that of logical necessity.
("A knows that p is the case" is senseless if p is a tautology.)
英2 The freedom of the will consists in the impossibility of knowing actions that still lie in the future. We could know them only if causality were an inner necessity like that of logical inference.—The connexion between knowledge and what is known is that of logical necessity.
(‘A knows that p is the case’, has no sense if p is a tautology.)
5.1363
独   Wenn daraus, dass ein Satz uns einleuchtet, nicht folgt, dass er wahr ist, so ist das Einleuchten auch keine Rechtfertigung für unseren Glauben an seine Wahrheit.
英1 If from the fact that a proposition is obvious to us it does not follow that it is true, then obviousness is no justification for our belief in its truth.
英2 If the truth of a proposition does not follow from the fact that it is self-evident to us, then its self-evidence in no way justifies our belief in its truth.
5.14
独   Folgt ein Satz aus einem anderen, so sagt dieser mehr als jener, jener weniger als dieser.
英1 If a proposition follows from another, then the latter says more than the former, the former less than the latter.
英2 If one proposition follows from another, then the latter says more than the former, and the former less than the latter.
5.141
独   Folgt p aus q und q aus p, so sind sie ein und derselbe Satz.
英1 If p follows from q and q from p then they are one and the same proposition.
英2 If p follows from q and q from p, then they are one and the same proposition.
5.142
独   Die Tautologie folgt aus allen Sätzen: sie sagt nichts.
英1 A tautology follows from all propositions: it says nothing.
英2 A tautology follows from all propositions: it says nothing.
5.143
独   Die Kontradiktion ist das Gemeinsame der Sätze, was kein Satz mit einem anderen gemein hat. Die Tautologie ist das Gemeinsame aller Sätze, welche nichts miteinander gemein haben.
Die Kontradiktion verschwindet sozusagen außerhalb, die Tautologie innerhalb aller Sätze.
Die Kontradiktion ist die äußere Grenze der Sätze, die Tautologie ihr substanzloser Mittelpunkt.
英1 Contradiction is something shared by propositions, which no proposition has in common with another. Tautology is that which is shared by all propositions, which have nothing in common with one another.
Contradiction vanishes so to speak outside, tautology inside all propositions.
Contradiction is the eternal limit of the propositions, tautology their substanceless centre.
英2 Contradiction is that common factor of propositions which no proposition has in common with another. Tautology is the common factor of all propositions that have nothing in common with one another.
Contradiction, one might say, vanishes outside all propositions: tautology vanishes inside them.
Contradiction is the outer limit of propositions: tautology is the unsubstantial point at their centre.
5.15
独   Ist Wr die Anzahl der Wahrheitsgründe des Satzes »r«, Wrs die Anzahl derjenigen Wahrheitsgründe des Satzes »s«, die zugleich Wahrheitsgründe von »r« sind, dann nennen wir das Verhältnis: Wrs: Wr das Maß der Wahrscheinlichkeit, welche der Satz »r« dem Satz »s« gibt.
英1 If Tr is the number of the truth-grounds of the proposition "r", Trs the number of those truth-grounds of the proposition "s" which are at the same time truth-grounds of "r", then we call the ratio Trs: Tr the measure of the probability which the proposition "r" gives to the proposition "s".
英2 If Tr is the number of the truth-grounds of a proposition ‘r’, and if Trs is the number of the truth-grounds of a proposition ‘s’ that are at the same time truth-grounds of ‘r’, then we call the ratio Trs : Tr the degree of probability that the proposition ‘r’ gives to the proposition ‘s’.
5.151
独   Sei in einem Schema wie dem obigen in No. 5.101 Wr die Anzahl der »W« im Satze r; Wrs die Anzahl derjenigen »W« im Satze s, die in gleichen Kolonnen mit »W« des Satzes r stehen. Der Satz r gibt dann dem Satze s die Wahrscheinlichkeit: Wrs: Wr.
英1 Suppose in a scheme like that above in No.5.101* Tr is the number of the "T"'s in the proposition r, Trs the number of those "T"'s in the proposition s, which stand in the same columns as "T"'s of the proposition r; then the proposition r gives to the proposition s the probability Trs: Tr.
英2 In a schema like the one above in 5.101*, let Tr be the number of ‘T’s’ in the proposition r, and let Trs, be the number of ‘T’s’ in the proposition s that stand in columns in which the proposition r has ‘T’s’. Then the proposition r gives to the proposition s the probability Trs : Tr.
5.1511
独   Es gibt keinen besonderen Gegenstand, der den Wahrscheinlichkeitssätzen eigen wäre.
英1 There is no special object peculiar to probability propositions.
英2 There is no special object peculiar to probability propositions.
5.152
独   Sätze, welche keine Wahrheitsargumente mit einander gemein haben, nennen wir von einander unabhängig.
Zwei Elementarsätze geben einander die Wahrscheinlichkeit 1/2.
Folgt p aus q, so gibt der Satz »q« dem Satz »p« die Wahrscheinlichkeit 1. Die Gewissheit des logischen Schlusses ist ein Grenzfall der Wahrscheinlichkeit.
(Anwendung auf Tautologie und Kontradiktion.)
英1 Propositions which have no truth-arguments in common with one another we call independent.
Two elementary propositions give to one another the probability 1/2.
If p follows from q, the proposition q gives to the proposition p the probability 1. The certainty of logical conclusion is a limiting case of probability.
(Application to tautology and contradiction.)
英2 When propositions have no truth-arguments in common with one another, we call them independent of one another.
Two elementary propositions give one another the probability ½.
If p follows from q, then the proposition ‘q’ gives to the proposition ‘p’ the probability 1. The certainty of logical inference is a limiting case of probability.
(Application of this to tautology and contradiction.)
5.153
独   Ein Satz ist an sich weder wahrscheinlich noch unwahrscheinlich. Ein Ereignis trifft ein, oder es trifft nicht ein, ein Mittelding gibt es nicht.
英1 A proposition is in itself neither probable nor improbable. An even occurs or does not occur, there is no middle course.
英2 In itself, a proposition is neither probable nor improbable. Either an event occurs or it does not: there is no middle way.
5.154
独   In einer Urne seien gleichviel weiße und schwarze Kugeln (und keine anderen). Ich ziehe eine Kugel nach der anderen und lege sie wieder in die Urne zurück. Dann kann ich durch den Versuch feststellen, dass sich die Zahlen der gezogenen schwarzen und weißen Kugeln bei fortgesetztem Ziehen einander nähern.
Das ist also kein mathematisches Faktum.
Wenn ich nun sage: Es ist gleich wahrscheinlich, dass ich eine weiße Kugel wie eine schwarze ziehen werde, so heißt das: Alle mir bekannten Unistände (die hypothetisch angenommenen Naturgesetze mitinbegriffen) geben dem Eintreffen des einen Ereignisses nicht mehr Wahrscheinlichkeit als dem Eintreffen des anderen. Das heißt, sie geben - wie aus den obigen Erklärungen leicht zu entnehmen ist - jedem die Wahrscheinlichkeit 1/2.
Was ich durch den Versuch bestätige, ist, dass das Eintreffen der beiden Ereignisse von den Umständen, die ich nicht näher kenne, unabhängig ist.
英1 In an urn there are equal numbers of white and black balls (and no others). I draw on ball after another and put them back in the urn. Then I can determine by the experiment that the numbers of the black and white balls which are drawn approximate as the drawing continues.
So this is not a mathematical fact.
If then, I say, It is equally probable that I should d raw a white and a black ball, this means, All the circumstances known to me (including the natural laws hypothetically assumed) give to the occurrence of the one event no more probability than to the occurrence of the other. That is they give -- as can easily be understood from the above explanations -- to each the probability 1/2.
What I can verify by the experiment is that the occurrence of the two events is independent of the circumstances with which I have no closer acquaintance.
英2 Suppose that an urn contains black and white balls in equal numbers (and none of any other kind). I draw one ball after another, putting them back into the urn. By this experiment I can establish that the number of black balls drawn and the number of white balls drawn approximate to one another as the draw continues.
So this is not a mathematical truth.
Now, if I say, ‘The probability of my drawing a white ball is equal to the probability of my drawing a black one’, this means that all the circumstances that I know of (including the laws of nature assumed as hypotheses) give no more probability to the occurrence of the one event than to that of the other. That is to say, they give each the probability ½, as can easily be gathered from the above definitions.
What I confirm by the experiment is that the occurrence of the two events is independent of the circumstances of which I have no more detailed knowledge.
5.155
独   Die Einheit des Wahrscheinlichkeitssatzes ist: Die Umstände - die ich sonst nicht weiter kenne - geben dem Eintreffen eines bestimmten Ereignisses den und den Grad der Wahrscheinlichkeit.
英1 The unit of the probability proposition is: The circumstances -- with which I am not further acquainted -- give to the occurrence of a definite event such and such a degree of probability.
英2 The minimal unit for a probability proposition is this: The circumstances—of which I have no further knowledge—give such and such a degree of probability to the occurrence of a particular event.
5.156
独   So ist die Wahrscheinlichkeit eine Verallgemeinerung.
Sie involviert eine allgemeine Beschreibung einer Satzform.
Nur in Ermanglung der Gewissheit gebrauchen wir die Wahrscheinlichkeit. - Wenn wir zwar eine Tatsache nicht vollkommen kennen, wohl aber etwas über ihre Form wissen.
(Ein Satz kann zwar ein unvollständiges Bild einer gewissen Sachlage sein, aber er ist immer ein vollständiges Bild.)
Der Wahrscheinlichkeitssatz ist gleichsam ein Auszug aus anderen Sätzen.
英1 Probability is a generalization.
It involves a general description of a propositional form. Only in default of certainty do we need probability.
If we are not completely acquainted with a fact, but know something about its form.
(A proposition can, indeed, be an incomplete picture of a certain state of affairs, but it is always a complete picture.)
The probability proposition is, as it were, an extract from other propositions.
英2 It is in this way that probability is a generalization.
It involves a general description of a propositional form.
We use probability only in default of certainty—if our knowledge of a fact is not indeed complete, but we do know something about its form.
(A proposition may well be an incomplete picture of a certain situation, but it is always a complete picture of something.)
A probability proposition is a sort of excerpt from other propositions.
5.2
独   Die Strukturen der Sätze stehen in internen Beziehungen zu einander.
英1 The structures of propositions stand to one another in internal relations.
英2 The structures of propositions stand in internal relations to one another.
5.21
独   Wir können diese internen Beziehungen dadurch in unserer Ausdrucksweise hervorheben, dass wir einen Satz als Resultat einer Operation darstellen, die ihn aus anderen Sätzen (den Basen der Operation) hervorbringt.
英1 We can bring out these internal relations in our manner of expression, by presenting a proposition as the result of an operation which produces it from other propositions (the bases of the operation).
英2 In order to give prominence to these internal relations we can adopt the following mode of expression: we can represent a proposition as the result of an operation that produces it out of other propositions (which are the bases of the operation).
5.22
独   Die Operation ist der Ausdruck einer Beziehung zwischen den Strukturen ihres Resultats und ihrer Basen.
英1 The operation is the expression of a relation between the structures of its result and its bases.
英2 An operation is the expression of a relation between the structures of its result and of its bases.
5.23
独   Die Operation ist das, was mit dem einen Satz geschehen muss, um aus ihm den anderen zu machen.
英1 The operation is that which must happen to a proposition in order to make another out of it.
英2 The operation is what has to be done to the one proposition in order to make the other out of it.
5.231
独   Und das wird natürlich von ihren formalen Eigenschaften, von der internen ähnlichkeit ihrer Formen abhängen.
英1 And that will naturally depend on their formal properties, on the internal similarity of their forms.
英2 And that will, of course, depend on their formal properties, on the internal similarity of their forms.
5.232
独   Die interne Relation, die eine Reihe ordnet, ist äquivalent mit der Operation, durch welche ein Glied aus dem anderen entsteht.
英1 The internal relation which orders a series is equivalent to the operation by which one term arises from another.
英2 The internal relation by which a series is ordered is equivalent to the operation that produces one term from another.
5.233
独   Die Operation kann erst dort auftreten, wo ein Satz auf logisch bedeutungsvolle Weise aus einem anderen entsteht. Also dort, wo die logische Konstruktion des Satzes anfängt.
英1 The first place in which an operation can occur is where a proposition arises from another in a logically significant way; i.e. where the logical construction of the proposition begins.
英2 Operations cannot make their appearance before the point at which one proposition is generated out of another in a logically meaningful way; i.e. the point at which the logical construction of propositions begins.
5.234
独   Die Wahrheitsfunktionen der Elementarsätze sind Resultate von Operationen, die die Elementarsätze als Basen haben. (Ich nenne diese Operationen Wahrheitsoperationen.)
英1 The truth-functions of elementary proposition. are results of operations which have the elementary propositions as bases. (I call these operations, truth-operations.)
英2 Truth-functions of elementary propositions are results of operations with elementary propositions as bases. (These operations I call truth-operations.)
5.2341
独   Der Sinn einer Wahrheitsfunktion von p ist eine Funktion des Sinnes von p.
Verneinung, logische Addition, logische Multiplikation, etc., etc. sind Operationen.
(Die Verneinung verkehrt den Sinn des Satzes.)
英1 The sense of a truth-function of p is a function of the sense of p.
Denial, logical addition, logical multiplication, etc., etc., are operations.
(Denial reverses the sense of a proposition.)
英2 The sense of a truth-function of p is a function of the sense of p.
Negation, logical addition, logical multiplication, etc. etc. are operations.
(Negation reverses the sense of a proposition.)
5.24
独   Die Operation zeigt sich in einer Variablen; sie zeigt, wie man von einer Form von Sätzen zu einer anderen gelangen kann.
Sie bringt den Unterschied der Formen zum Ausdruck.
(Und das Gemeinsame zwischen den Basen und dem Resultat der Operation sind eben die Basen.)
英1 An operation shows itself in a variable; it shows how we can proceed from one form of proposition to another.
It gives expression to the difference between the forms.
(And that which is common in the bases, and the result of an operation, is the bases themselves.)
英2 An operation manifests itself in a variable; it shows how we can get from one form of proposition to another.
It gives expression to the difference between the forms.
(And what the bases of an operation and its result have in common is just the bases themselves.)
5.241
独   Die Operation kennzeichnet keine Form, sondern nur den Unterschied der Formen.
英1 The operation does not characterize a form but only the difference between forms.
英2 An operation is not the mark of a form, but only of a difference between forms.
5.242
独   Dieselbe Operation, die »q« aus »p« macht, macht aus »q« »r« usf. Dies kann nur darin ausgedrückt sein, dass »p«, »q«, »r«, etc. Variable sind, die gewisse formale Relationen allgemein zum Ausdruck bringen.
英1 The same operation which makes "q" from "p", makes "r" from "q", and so on. This can only be expressed by the fact that "p", "q", "r", etc., are variables which give general expression to certain formal relations.
英2 The operation that produces ‘q’ from ‘p’ also produces ‘r’ from ‘q’, and so on. There is only one way of expressing this: ‘p’, ‘q’, ‘r’, etc. have to be variables that give expression in a general way to certain formal relations.
5.25
独   Das Vorkommen der Operation charakterisiert den Sinn des Satzes nicht.
Die Operation sagt ja nichts aus, nur ihr Resultat, und dies hängt von den Basen der Operation ab.
(Operation und Funktion dürfen nicht miteinander verwechselt werden.)
英1 The occurrence of an operation does not characterize the sense of a proposition.
For an operation does not assert anything; only its result does, and this depends on the bases of the operation.
(Operation and function must not be confused with one another.)
英2 The occurrence of an operation does not characterize the sense of a proposition.
Indeed, no statement is made by an operation, but only by its result, and this depends on the bases of the operation.
(Operations and functions must not be confused with each other.)
5.251
独   Eine Funktion kann nicht ihr eigenes Argument sein, wohl aber kann das Resultat einer Operation ihre eigene Basis werden.
英1 A function cannot be its own argument, but the result of an operation can be its own basis.
英2 A function cannot be its own argument, whereas an operation can take one of its own results as its base.
5.252
独   Nur so ist das Fortschreiten von Glied zu Glied in einer Formenreihe (von Type zu Type in den Hierarchien Russells und Whiteheads) möglich. (Russell und Whitehead haben die Möglichkeit dieses Fortschreitens nicht zugegeben, aber immer wieder von ihr Gebrauch gemacht.)
英1 Only in this way is the progress from term to term in a formal series possible (from type to type in the hierarchy of Russell and Whitehead). (Russell and Whitehead have not admitted the possibility of this progress but have made use of it all the same.)
英2 It is only in this way that the step from one term of a series of forms to another is possible (from one type to another in the hierarchies of Russell and Whitehead). (Russell and Whitehead did not admit the possibility of such steps, but repeatedly availed themselves of it.)
5.2521
独   Die fortgesetzte Anwendung einer Operation auf ihr eigenes Resultat nenne ich ihre successive Anwendung (»O'O'O'a« ist das Resultat der dreimaligen successiven Anwendung von »O'ξ« auf »a«).
In einem ähnlichen Sinne rede ich von der successiven Anwendung mehrerer Operationen auf eine Anzahl von Sätzen.
英1 The repeated application of an operation to its own result I call its successive application ("O' O' O' a" is the result of the threefold successive application of "O'ξ" to "a").
In a similar sense I speak of the successive application of several operations to a number of propositions.
英2 If an operation is applied repeatedly to its own results, I speak of successive applications of it. (‘OOOa’ is the result of three successive applications of the operation ‘Oξ’ to ‘a’.)
In a similar sense I speak of successive applications of more than one operation to a number of propositions.
5.2522
独   Das allgemeine Glied einer Formenreihe a, O' a, O' O' a, . . . schreibe ich daher so: »[a, x, O'x]«. Dieser Klammerausdruck ist eine Variable. Das erste Glied des Klammerausdruckes ist der Anfang der Formenreihe, das zweite die Form eines beliebigen Gliedes x der Reihe und das dritte die Form desjenigen Gliedes der Reihe, welches auf x unmittelbar folgt.
英1 The general term of the formal series a, O' a, O' O' a, . . . I write thus: "[a, x, O'x]". This expression in brackets is a variable. The first term of the expression is the beginning of the formal series, the second the form of an arbitrary term x of the series, and the third the form of that term of the series which immediately follws x.
英2 Accordingly I use the sign ‘[a, x, Ox]’ for the general term of the series of forms a, Oa, OOa,. This bracketed expression is a variable: the first term of the bracketed expression is the beginning of the series of forms, the second is the form of a term x arbitrarily selected from the series, and the third is the form of the term that immediately follows x in the series.
5.2523
独   Der Begriff der successiven Anwendung der Operation ist äquivalent mit dem Begriff »und so weiter«.
英1 The concept of the success application of an operation is equivalent to the concept "and so on".
英2 The concept of successive applications of an operation is equivalent to the concept ‘and so on’.
5.253
独   Eine Operation kann die Wirkung einer anderen rückgängig machen. Operationen können einander aufheben.
英1 One operation can reverse the effect of another. Operations can cancel one another.
英2 One operation can counteract the effect of another. Operations can cancel one another.
5.254
独   Die Operation kann verschwinden (z.B. die Verneinung in »~~p« : ~~p = p).
英1 Operations can vanish (e.g. denial in "~~p". ~~p = p).
英2 An operation can vanish (e.g. negation in ‘~~p’: ~~p=p).
5.3
独   Alle Sätze sind Resultate von Wahrheitsoperationen mit den Elementarsätzen.
Die Wahrheitsoperation ist die Art und Weise, wie aus den Elementarsätzen die Wahrheitsfunktion entsteht.
Nach dem Wesen der Wahrheitsoperation wird auf die gleiche Weise, wie aus den Elementarsätzen ihre Wahrheitsfunktion, aus Wahrheitsfunktionen eine neue. Jede Wahrheitsoperation erzeugt aus Wahrheitsfunktionen von Elementarsätzen wieder eine Wahrheitsfunktion von Elementarsätzen, einen Satz. Das Resultat jeder Wahrheitsoperation mit den Resultaten von Wahrheitsoperationen mit Elementarsätzen ist wieder das Resultat Einer Wahrheitsoperation mit Elementarsätzen.
Jeder Satz ist das Resultat von Wahrheitsoperationen mit Elementarsätzen.
英1 All propositions are results of truth-operations on the elementary propositions.
The truth-operation is the way in which a truth-function arises from elementary propositions.
According to the nature of truth-operations, in the same way as out of elementary propositions arise their truth-functions, from truth-functions arises a new one. Every truth-operation creates from truth-functions of elementary propositions, another truth-function of elementary propositions i.e. a proposition. The result of every truth-operation on the reults of truth-operations on elementary propositions is also the result of one truth-operation on elementary propositions.
Every proposition is the result of truth-operations on elementary propositions.
英2 All propositions are results of truth-operations on elementary propositions.
A truth-operation is the way in which a truth-function is produced out of elementary propositions.
It is of the essence of truth-operations that, just as elementary propositions yield a truth-function of themselves, so too in the same way truth-functions yield a further truth-function. When a truth-operation is applied to truth-functions of elementary propositions, it always generates another truth-function of elementary propositions, another proposition. When a truth-operation is applied to the results of truth-operations on elementary propositions, there is always a single operation on elementary propositions that has the same result.
Every proposition is the result of truth-operations on elementary propositions.
5.31
独   Die Schemata No. 4.31 haben auch dann eine Bedeutung, wenn »p«, »q«, »r«, etc. nicht Elementarsätze sind.
Und es ist leicht zu sehen, dass das Satzzeichen in No. 4.442, auch wenn »p« und »q« Wahrheitsfunktionen von Elementarsätzen sind, Eine Wahrheitsfunktion von Elementarsätzen ausdrückt.
英1 The Schemata No.4.31* are also significant, if "p", "q", "r", etc. are not elementary propositions.
And it is easy to see that the propositional sign in No.4.442* expresses one truth-function of elementary propositions even when "p" and "q" are truth-functions of elementary propositions.
英2 The schemata in 4.31* have a meaning even when ‘p’, ‘q’, ‘r’, etc. are not elementary propositions.
And it is easy to see that the propositional sign in 4.442* expresses a single truth-function of elementary propositions even when ‘p’ and ‘q’ are truth-functions of elementary propositions.
5.32
独   Alle Wahrheitsfunktionen sind Resultate der successiven Anwendung einer endlichen Anzahl von Wahrheitsoperationen auf die Elementarsätze.
英1 All truth-functions are results of the successive application of a finite number of truth-operations to elementary propositions.
英2 All truth-functions are results of successive applications to elementary propositions of a finite number of truth-operations.
5.4
独   Hier zeigt es sich, dass es »logische Gegenstände«, »logische Konstante« (im Sinne Freges und Russells) nicht gibt.
英1 Here it becomes clear that there are no such things as "logical objects" or "logical constants" (in the sense of Frege and Russell).
英2 At this point it becomes manifest that there are no ‘logical objects’ or ‘logical constants’ (in Frege’s and Russell’s sense).
5.41
独   Denn: Alle Resultate von Wahrheitsoperationen mit Wahrheitsfunktionen sind identisch, welche eine und dieselbe Wahrheitsfunktion von Elementarsätzen sind.
英1 For all those results of truth-operations on truth-functions are identical, which are one and the same truth-function of elementary propositions.
英2 The reason is that the results of truth-operations on truth-functions are always identical whenever they are one and the same truth-function of elementary propositions.
5.42
独   Dass , , etc. nicht Beziehungen im Sinne von rechts und links etc. sind, leuchtet ein.
Die Möglichkeit des kreuzweisen Definierens der logischen »Urzeichen« Freges und Russells zeigt schon, dass diese keine Urzeichen sind, und schon erst recht, dass sie keine Relationen bezeichnen.
Und es ist offenbar, dass das »«, welches wir durch »~« und »« definieren, identisch ist mit dem, durch welches wir »« mit »~« definieren, und dass dieses »« mit dem ersten identisch ist. Usw.
英1 That , , etc., are not relations in the sense of right and left, etc., is obvious.
The possibility of crosswise definition of the logical "primitive signs" of Frege and Russell shows by itself that these are not primitive signs and that they signify no relations.
And it is obvious that the "" which we define by means of "~" and "" is identical with that by which we define "" with the help of "~", and that this "" is the same as the first, and so on.
英2 It is self-evident that , , etc. are not relations in the sense in which right and left etc. are relations.
The interdefinability of Frege’s and Russell’s ‘primitive signs’ of logic is enough to show that they are not primitive signs, still less signs for relations.
And it is obvious that the ‘’ defined by means of ‘~’ and ‘’ is identical with the one that figures with ‘~’ in the definition of ‘’; and that the second ‘’ is identical with the first one; and so on.
5.43
独   Dass aus einer Tatsache p unendlich viele andere folgen sollten, nämlich ~~p, ~~~~p, etc., ist doch von vornherein kaum zu glauben. Und nicht weniger merkwürdig ist, dass die unendliche Anzahl der Sätze der Logik (der Mathematik) aus einem halben Dutzend »Grundgesetzen« folgen.
Alle Sätze der Logik sagen aber dasselbe. Nämlich nichts.
英1 That from a fact p an infinite number of others should follow, namely, ~~p, ~~~~p, etc., is indeed hardly to be believed, and it is no less wonderful that the infinite number of propositions of logic (of mathematics) shold follow from half a dozen "primitive propositions".
But the propositions of logic say the same thing. That is, nothing.
英2 Even at first sight it seems scarcely credible that there should follow from one fact p infinitely many others, namely ~~p, ~~~~p, etc. And it is no less remarkable that the infinite number of propositions of logic (mathematics) follow from half a dozen ‘primitive propositions’.
But in fact all the propositions of logic say the same thing, to wit nothing.
5.44
独   Die Wahrheitsfunktionen sind keine materiellen Funktionen.
Wenn man z. B. eine Bejahung durch doppelte Verneinung erzeugen kann, ist dann die Verneinung - in irgendeinem Sinn - in der Bejahung enthalten ? Verneint »~~p« ~p, oder bejaht es p; oder beides?
Der Satz »~~p« handelt nicht von der Verneinung wie von einem Gegenstand; wohl aber ist die Möglichkeit der Verneinung in der Bejahung bereits präjudiziert.
Und gäbe es einen Gegenstand, der »~« hieße, so müsste »~~p« etwas anderes sagen als »p«. Denn der eine Satz würde dann eben von ~ handeln, der andere nicht.
英1 Truth-functions are not material functions.
If e.g. an affirmation can be produced by repeated denial, is the denial -- in any sense -- contained in the affirmation? Does "~~p" deny "~p", or does it affirm p; or both?
The proposition "~~p" does not treat of denial as an object, but the possibility of denial is already prejudged in affirmation.
And if there was an object called "~", then "~~p" would have to say something other than "p". For the one proposition would then treat of ~, the other would not.
英2 Truth-functions are not material functions.
For example, an affirmation can be produced by double negation: in such a case does it follow that in some sense negation is contained in affirmation? Does ‘~~p’ negate ~p, or does it affirm p—or both?
The proposition ‘~~p’ is not about negation, as if negation were an object: on the other hand, the possibility of negation is already written into affirmation.
And if there were an object called ‘~’, it would follow that ‘~~p’ said something different from what ‘p’ said, just because the one proposition would then be about ~ and the other would not.
5.441
独   Dieses Verschwinden der scheinbaren logischen Konstanten tritt auch ein, wenn »~(x) . ~fx« dasselbe sagt wie »(x) . fx«, oder »(x) . fx . x = a« dasselbe wie »fa«.
英1 This disappearance of the apparent logical constants also occurs if "~(x) . ~fx" says the same as "(x) . fx", or "(x) . fx . x = a" the same as "fa".
英2 This vanishing of the apparent logical constants also occurs in the case of ‘~(x).~fx’, which says the same as ‘(x).fx’, and in the case of ‘(x).fx.x=a’, which says the same as ‘fa’.
5.442
独   Wenn uns ein Satz gegeben ist, so sind mit ihm auch schon die Resultate aller Wahrheitsoperationen, die ihn zur Basis haben, gegeben.
英1 If a proposition is given to us then the results of all truth-opoerations which have it as their basis are given with it.
英2 If we are given a proposition, then with it we are also given the results of all truth-operations that have it as their base.
5.45
独   Gibt es logische Urzeichen, so muss eine richtige Logik ihre Stellung zueinander klar machen und ihr Dasein rechtfertigen. Der Bau der Logik aus ihren Urzeichen muss klar werden.
英1 If there are logical primitive signs a correct logic must make clear their position relative to one another and justify their existence. The construction of logic out of its primitive signs must become clear.
英2 If there are primitive logical signs, then any logic that fails to show clearly how they are placed relatively to one another and to justify their existence will be incorrect. The construction of logic out of its primitive signs must be made clear.
5.451
独   Hat die Logik Grundbegriffe, so müssen sie von einander unabhängig sein. Ist ein Grundbegriff eingeführt, so muss er in allen Verbindungen eingeführt sein, worin er überhaupt vorkommt. Man kann ihn also nicht zuerst für eine Verbindung, dann noch einmal für eine andere einführen. Z.B.: Ist die Verneinung eingeführt, so müssen wir sie jetzt in Sätzen von der Form »~p« ebenso verstehen, wie in Sätzen wie »~(p q)«, »(x) . ~fx« u.a. Wir dürfen sie nicht erst für die eine Klasse von Fällen, dann für die andere einführen, denn es bliebe dann zweifelhaft, ob ihre Bedeutung in beiden Fällen die gleiche wäre und es wäre kein Grund vorhanden, in beiden Fällen dieselbe Art der Zeichenverbindung zu benützen.
(Kurz, für die Einführung der Urzeichen gilt, mutatis mutandis, dasselbe, was Frege (»Grundgesetze der Arithmetik«) für die Einführung von Zeichen durch Definitionen gesagt hat.)
英1 If logic has primitive ideas these must be independent of one another. If a primitive idea is introduced it must be introduced in all contexts in which it occurs at all. One cannot therefore introduce it for one context and then again for another. For example, if denial is introduced, we must understand it in propositions of the form "~p", just as in propositions like "~(p q)", "(x) . ~fx" and others. We may not first introduce it for oone class of cases and then for another, for it would then remain doubtful whether its meaning in the two cases was the same, and there would be no reason to use the same way of symbolizing in the two cases.
(In short, what Frege ("Grundgesetze der Arithmetik") has said about the introduction of signs by definitions holds, mutatis mutandis, for the introduction of primitive signs also.)
英2 If logic has primitive ideas, they must be independent of one another. If a primitive idea has been introduced, it must have been introduced in all the combinations in which it ever occurs. It cannot, therefore, be introduced first for one combination and later reintroduced for another. For example, once negation has been introduced, we must understand it both in propositions of the form ‘~p’ and in propositions like ‘~(pq)’, ‘(x).~fx’, etc. We must not introduce it first for the one class of cases and then for the other, since it would then be left in doubt whether its meaning were the same in both cases, and no reason would have been given for combining the signs in the same way in both cases.
(In short, Frege’s remarks about introducing signs by means of definitions (in The Fundamental Laws of Arithmetic) also apply, mutatis mutandis, to the introduction of primitive signs.)
5.452
独   Die Einführung eines neuen Behelfes in den Symbolismus der Logik muss immer ein folgenschweres Ereignis sein. Kein neuer Behelf darf in die Logik - sozusagen, mit ganz unschuldiger Miene - in Klammern oder unter dem Striche eingeführt werden.
(So kommen in den »Principia Mathematica« von Russell und Whitehead Definitionen und Grundgesetze in Worten vor. Warum hier plötzlich Worte? Dies bedürfte einer Rechtfertigung. Sie fehlt und muss fehlen, da das Vorgehen tatsächlich unerlaubt ist.)
Hat sich aber die Einführung eines neuen Behelfes an einer Stelle als nötig erwiesen, so muss man sich nun sofort fragen: Wo muss dieser Behelf nun immer angewandt werden? Seine Stellung in der Logik muss nun erklärt werden.
英1 The introduction of a new expedient in the symbolism of logic must always be an event full of consequences. No new symbol may be introduced in logic in brackets or in the margin -- with, so to speak, an entirely innocent face.
(Thus in the "Principia Mathematica" of Russell and Whitehead there occur definitions and primitive propositions in words. Why suddenly words here? This would need a justification. There was none, and can be none for the process is actually not allowed.)
But if the introduction of a new expedient has proved necessary in one place, we must immediately ask: Where is this expedient always to be used? Its position in logic must be made clear.
英2 The introduction of any new device into the symbolism of logic is necessarily a momentous event. In logic a new device should not be introduced in brackets or in a footnote with what one might call a completely innocent air.
(Thus in Russell and Whitehead’s Principia Mathematica there occur definitions and primitive propositions expressed in words. Why this sudden appearance of words? It would require a justification, but none is given, or could be given, since the procedure is in fact illicit.)
But if the introduction of a new device has proved necessary at a certain point, we must immediately ask ourselves, ‘At what points is the employment of this device now unavoidable?’ and its place in logic must be made clear.
5.453
独   Alle Zahlen der Logik müssen sich rechtfertigen lassen.
Oder vielmehr: Es muss sich herausstellen, dass es in der Logik keine Zahlen gibt.
Es gibt keine ausgezeichneten Zahlen.
英1 All numbers in logic must be capable of justification.
Or rather it must become plain that there are no numbers in logic.
There are no pre-eminent numbers.
英2 All numbers in logic stand in need of justification.
Or rather, it must become evident that there are no numbers in logic.
There are no privileged numbers.
5.454
独   In der Logik gibt es kein Nebeneinander, kann es keine Klassifikation geben.
In der Logik kann es nicht Allgemeineres und Spezielleres geben.
英1 In logic there is no side by side, there can be no classification.
In logic there cannot be a more general and a more special.
英2 In logic there is no co-ordinate status, and there can be no classification.
In logic there can be no distinction between the general and the specific.
5.4541
独   Die Lösungen der logischen Probleme müssen einfach sein, denn sie setzen den Standard der Einfachheit.
Die Menschen haben immer geahnt, dass es ein Gebiet von Fragen geben müsse, deren Antworten - a priori - symmetrisch, und zu einem abgeschlossenen, regelmäßigen Gebilde vereint liegen.
Ein Gebiet, in dem der Satz gilt: Simplex sigillum veri.
英1 The solution of logical problems must be neat for they set the standard of neatness.
Men have always thought that there must be a sphere of questions whose answers -- a priori -- are symmetrical and united into a closed regular structure.
A sphere in which the proposition, simplex sigillum veri, is valid.
英2 The solutions of the problems of logic must be simple, since they set the standard of simplicity.
Men have always had a presentiment that there must be a realm in which the answers to questions are symmetrically combined—a priori—to form a self-contained system.
A realm subject to the law: Simplex sigillum veri.
5.46
独   Wenn man die logischen Zeichen richtig einführte, so hätte man damit auch schon den Sinn aller ihrer Kombinationen eingeführt; also nicht nur »p q« sondern auch schon »~(p q)« etc. etc. Man hätte damit auch schon die Wirkung aller nur möglichen Kombinationen von Klammern eingeführt. Und damit wäre es klar geworden, dass die eigentlichen allgemeinen Urzeichen nicht die »p q«, »(x) . fx«, etc. sind, sondern die allgemeinste Form ihrer Kombinationen.
英1 When we have rightly introduced the logical signs, the sense of all their combinations has been already introduced with them: therefore not only "p q" but also "~(p q)", etc. etc. We should then already have introduced the effect of all possible combinations of brackets; and it would then have become clear that the proper general primitive signs are not "p q", "(x) . fx", etc., but the most general form of their combinations.
英2 If we introduced logical signs properly, then we should also have introduced at the same time the sense of all combinations of them; i.e. not only ‘pq’ but ‘~(p~q)’ as well, etc. etc. We should also have introduced at the same time the effect of all possible combinations of brackets. And thus it would have been made clear that the real general primitive signs are not ‘pq’, ‘(x).fx’, etc. but the most general form of their combinations.
5.461
独   Bedeutungsvoll ist die scheinbar unwichtige Tatsache, dass die logischen Scheinbeziehungen, wie und , der Klammern bedürfen - im Gegensatz zu den wirklichen Beziehungen.
Die Benützung der Klammern mit jenen scheinbaren Urzeichen deutet ja schon darauf hin, dass diese nicht die wirklichen Urzeichen sind. Und es wird doch wohl niemand glauben, dass die Klammern eine selbständige Bedeutung haben.
英1 The apparently unimportant fact that the apparent relations like and need brackets -- unlike real relations -- is of great importance.
The use of brackets with these apparent primitive signs shows that these are not the real primitive signs; and nobody of course would believe that the brackets have meaning by themselves.
英2 Though it seems unimportant, it is in fact significant that the pseudo-relations of logic, such as and , need brackets—unlike real relations.
Indeed, the use of brackets with these apparently primitive signs is itself an indication that they are not primitive signs. And surely no one is going to believe brackets have an independent meaning.
5.4611
独   Die logischen Operationszeichen sind Interpunktionen.
英1 Logical operation signs are punctuations.
英2 Signs for logical operations are punctuation-marks.
5.47
独   Es ist klar, dass alles, was sich überhaupt von vornherein über die Form aller Sätze sagen lässt, sich auf einmal sagen lassen muss.
Sind ja schon im Elementarsatze alle logischen Operationen enthalten. Denn »fa« sagt dasselbe wie
»(x) .fx . x = a«.
Wo Zusammengesetztheit ist, da ist Argument und Funktion, und wo diese sind, sind bereits alle logischen Konstanten.
Man könnte sagen: Die Eine logische Konstante ist das, was alle Sätze, ihrer Natur nach, mit einander gemein haben.
Das aber ist die allgemeine Satzform.
英1 It is clear that everything which can be said beforehand about the form of all propositions at all can be said on one occasion.
For all logical operations are already contained in the elementary proposition. For "fa" says the same as "(x) .fx . x = a".
Where there is composition, there is argument and function, and where these are, all logical constants already are.
One could say: the one logical constant is that which all propositions, according to their nature, have in common with one another.
That however is the general form of proposition.
英2 It is clear that whatever we can say in advance about the form of all propositions, we must be able to say all at once.
An elementary proposition really contains all logical operations in itself. For ‘fa’ says the same thing as
(x).fx.x=a’.
Wherever there is compositeness, argument and function are present, and where these are present, we already have all the logical constants.
One could say that the sole logical constant was what all propositions, by their very nature, had in common with one another.
But that is the general propositional form.
5.471
独   Die allgemeine Satzform ist das Wesen des Satzes.
英1 The general form of proposition is the essence of proposition.
英2 The general propositional form is the essence of a proposition.
5.4711
独   Das Wesen des Satzes angeben, heißt, das Wesen aller Beschreibung angeben, also das Wesen der Welt.
英1 To give the essence of proposition means to give the essence of all description, therefore the essence of the world.
英2 To give the essence of a proposition means to give the essence of all description, and thus the essence of the world.
5.472
独   Die Beschreibung der allgemeinsten Satzform ist die Beschreibung des einen und einzigen allgemeinen Urzeichens der Logik.
英1 The description of the most general propositional form is the description of the one and only general primitive sign in logic.
英2 The description of the most general propositional form is the description of the one and only general primitive sign in logic.
5.473
独   Die Logik muss für sich selber sorgen.
Ein mögliches Zeichen muss auch bezeichnen können. Alles was in der Logik möglich ist, ist auch erlaubt. (»Sokrates ist identisch« heißt darum nichts, weil es keine Eigenschaft gibt, die »identisch« heißt. Der Satz ist unsinnig, weil wir eine willkürliche Bestimmung nicht getroffen haben, aber nicht darum, weil das Symbol an und für sich unerlaubt wäre.)
Wir können uns, in gewissem Sinne, nicht in der Logik irren.
英1 Logic must take care of itself.
A possible sign must also be able to signify. Everything which is possible in logic is also permitted. ("Socrates is identical" means nothing because there is no property which is called "identical". The proposition is senseless beause we have not made some arbitrary determination, not because the symbol is in itself unpermissible.)
In a certain sense we cannot make mistakes in logic.
英2 Logic must look after itself.
If a sign is possible, then it is also capable of signifying. Whatever is possible in logic is also permitted. (The reason why ‘Socrates is identical’ means nothing is that there is no property called ‘identical’. The proposition is nonsensical because we have failed to make an arbitrary determination, and not because the symbol, in itself, would be illegitimate.)
In a certain sense, we cannot make mistakes in logic.
5.4731
独   Das Einleuchten, von dem Russell so viel sprach, kann nur dadurch in der Logik entbehrlich werden, dass die Sprache selbst jeden logischen Fehler verhindert. - Dass die Logik a priori ist, besteht darin, dass nicht unlogisch gedacht werden kann.
英1 Self-evidence, of which Russell has said so much, can only be discard in logic by language itself preventing every logical mistake. That logic is a priori consists in the fact that we cannot think illogically.
英2 Self-evidence, which Russell talked about so much, can become dispensable in logic, only because language itself prevents every logical mistake.—What makes logic a priori is the impossibility of illogical thought.
5.4732
独   Wir können einem Zeichen nicht den unrechten Sinn geben.
英1 We cannot give a sign the wrong sense.
英2 We cannot give a sign the wrong sense.
5.47321
独   Occams Devise ist natürlich keine willkürliche, oder durch ihren praktischen Erfolg gerechtfertigte Regel: Sie besagt, dass unnötige Zeicheneinheiten nichts bedeuten.
Zeichen, die Einen Zweck erfüllen, sind logisch äquivalent, Zeichen, die keinen Zweck erfüllen, logisch bedeutungslos.
英1 Occam's razor is, of course, not an arbitrary rule nor one justified by its practical success. It simply sais that unnecessary elements in a symbolism mean nothing.
Signs which serve one purpose are logically equivalent, signs which serve no purpose are logically meaningless.
英2 Occam’s maxim is, of course, not an arbitrary rule, nor one that is justified by its success in practice: its point is that unnecessary units in a sign-language mean nothing.
Signs that serve one purpose are logically equivalent, and signs that serve none are logically meaningless.
5.4733
独   Frege sagt: Jeder rechtmäßig gebildete Satz muss einen Sinn haben; und ich sage: Jeder mögliche Satz ist rechtmäßig gebildet, und wenn er keinen Sinn hat, so kann das nur daran liegen, dass wir einigen seiner Bestandteile keine Bedeutung gegeben haben.
(Wenn wir auch glauben, es getan zu haben.)
So sagt »Sokrates ist identisch« darum nichts, weil wir dem Wort »identisch« als Eigenschaftswort keine Bedeutung gegeben haben. Denn, wenn es als Gleichheitszeichen auftritt, so symbolisiert es auf ganz andere Art und Weise - die bezeichnende Beziehung ist eine andere, - also ist auch das Symbol in beiden Fällen ganz verschieden; die beiden Symbole haben nur das Zeichen zufällig miteinander gemein.
英1 Frege says: Every legitimately constructed proposition msut have a sense; and I say: Every possible proposition is legitimately constructed, and if it has no sense this can only be because we have given no meaning to some of its constituent parts.
(Even if we believe that we have done so.)
Thus "Socrates is identical" says nothing, because we have given no meaning to the word "identical" as adjective. For when it occurs as the isng of equality it symbolizes in an entirely different way -- the symbolizing relation is another -- therefore the symbol is in the two cases entirely different; the two symbols have the sign in common with one another only by accident.
英2 Frege says that any legitimately constructed proposition must have a sense. And I say that any possible proposition is legitimately constructed, and, if it has no sense, that can only be because we have failed to give a meaning to some of its constituents.
(Even if we think that we have done so.)
Thus the reason why ‘Socrates is identical’ says nothing is that we have not given any adjectival meaning to the word ‘identical’. For when it appears as a sign for identity, it symbolizes in an entirely different way—the signifying relation is a different one—therefore the symbols also are entirely different in the two cases: the two symbols have only the sign in common, and that is an accident.
5.474
独   Die Anzahl der nötigen Grundoperationen hängt nur von unserer Notation ab.
英1 The number of necessary fundamental operations depends only on our notation.
英2 The number of fundamental operations that are necessary depends solely on our notation.
5.475
独   Es kommt nur darauf an, ein Zeichensystem von einer bestimmten Anzahl von Dimensionen - von einer bestimmten mathematischen Mannigfaltigkeit - zu bilden.
英1 It is only a question of constructing a system of signs of a definite number of dimensions -- of a definite mathematical multiplicity.
英2 All that is required is that we should construct a system of signs with a particular number of dimensions—with a particular mathematical multiplicity.
5.476
独   Es ist klar, dass es sich hier nicht um eine Anzahl von Grundbegriffen handelt, die bezeichnet werden müssen, sondern um den Ausdruck einer Regel.
英1 It is clear that we are not concerned here with a number of primitive ideas which must be signified but with the expression of a rule.
英2 It is clear that this is not a question of a number of primitive ideas that have to be signified, but rather of the expression of a rule.
5.5
独   Jede Wahrheitsfunktion ist ein Resultat der successiven Anwendung der Operation (-----W)(ξ, . . . .) auf Elementarsätze.
Diese Operation verneint sämtliche Sätze in der rechten Klammer, und ich nenne sie die Negation dieser Sätze.
英1 Every truth-function is a result of the successive application of the operation (- - - - -T) (ξ, . . . .) to elementary propositions.
This operation denies all the propositions in the right-hand bracket and I call it the negation of these propositions.
英2 Every truth-function is a result of successive applications to elementary propositions of the operation ‘(-----T)(ξ, . . . . .)’.
This operation negates all the propositions in the right-hand pair of brackets, and I call it the negation of those propositions.
5.501
独   Einen Klammerausdruck, dessen Glieder Sätze sind, deute ich - wenn die Reihenfolge der Glieder in der Klammer gleichgültig ist - durch ein Zeichen von der Form »(ξ)« an. »ξ« ist eine Variable, deren Werte die Glieder des Klammerausdruckes sind; und der Strich über der Variablen deutet an, dass sie ihre sämtlichen Werte in der Klammer vertritt.
(Hat also ξ etwa die 3 Werte P, Q, R, so ist (ξ) = (P ,Q, R)
Die Werte der Variablen werden festgesetzt.
Die Festsetzung ist die Beschreibung der Sätze, welche die Variable vertritt.
Wie die Beschreibung der Glieder des Klammerausdruckes geschieht, ist unwesentlich.
Wir können drei Arten der Beschreibung unterscheiden: 1. die direkte Aufzählung. In diesem Fall können wir statt der Variablen einfach ihre konstanten Werte setzen. 2. Die Angabe einer Funktion fx, deren Werte für alle Werte von x die zu beschreibenden Sätze sind. 3. Die Angabe eines formalen Gesetzes, nach welchem jene Sätze gebildet sind. In diesem Falle sind die Glieder des Klammerausdrucks sämtliche Glieder einer Formenreihe.
英1 An expression in brackets whose terms are propositions I indicate -- if the order of the terms in the bracket is indifferent -- by a sign of the form "(ξ)". "ξ" is a variable whose values are the terms of the expression in brackets, and the line over the veriable indicates that it stands for all its values in the bracket.
(Thus if ξ has the 3 values P, Q, R, then (ξ) = (P ,Q, R)
The values of the variables must be determined.
The determination is the description of the propositions which the variable stands for.
How the description of the terms of the expression in brackets takes place is unessential.
We may distinguish 3 kinds of description: 1. Direct enumeration. In this case we can place simply its constant values instead of the variable. 2. Giving a function fx, whose values for all values of x are the propositions to be described. 3. Giving a formal law, according to which those propositions are constructed. In this case the terms of the expression in brackets are all the terms of a formal series.
英2 When a bracketed expression has propositions as its terms—and the order of the terms inside the brackets is indifferent—then I indicate it by a sign of the form ‘(ξ)’. ‘ξ’ is a variable whose values are terms of the bracketed expression and the bar over the variable indicates that it is the representative of all its values in the brackets.
(E.g. if ξ has the three values P, Q, R, then (ξ)=(P, Q, R). )
What the values of the variable are is something that is stipulated.
The stipulation is a description of the propositions that have the variable as their representative.
How the description of the terms of the bracketed expression is produced is not essential.
We can distinguish three kinds of description: 1. direct enumeration, in which case we can simply substitute for the variable the constants that are its values; 2. giving a function fx whose values for all values of x are the propositions to be described; 3. giving a formal law that governs the construction of the propositions, in which case the bracketed expression has as its members all the terms of a series of forms.
5.502
独   Ich schreibe also statt »(-----W)(ξ, . . . .)« »N(ξ)«.
N(ξ) ist die Negation sämtlicher Werte der Satzvariablen ξ.
英1 Therefore I write instead of "(- - - - - T)(ξ, . . . .)", "N(ξ)".
N(ξ) is the negation of all the values of the propositional variable ξ.
英2 So instead of ‘(-----T)(ξ, . . . . .)’, I write ‘N(ξ)’.
N(ξ) is the negation of all the values of the propositional variable ξ.
5.503
独   Da sich offenbar leicht ausdrücken lässt, wie mit dieser Operation Sätze gebildet werden können und wie Sätze mit ihr nicht zu bilden sind, so muss dies auch einen exakten Ausdruck finden können.
英1 As it is obviously easy to express how propositions can be constructioned by means of this operation and how propositions are not to be constructed by means of it, this must be capable of exact expression.
英2 It is obvious that we can easily express how propositions may be constructed with this operation, and how they may not be constructed with it; so it must be possible to find an exact expression for this.
5.51
独   Hat ξ nur einen Wert, so ist N(ξ) = ~p (nicht p), hat es zwei Werte, so ist N(ξ) = ~p . ~q (weder p noch q).
英1 If ξ has only one value, then N(ξ) = ~p (not p), if it has two values then N(ξ) = ~p . ~q (neither p nor q).
英2 If ξ has only one value, then N(ξ)=~p (not p); if it has two values, then N (ξ)=~p.~q (neither p nor q).
5.511
独   Wie kann die allumfassende, weltspiegelnde Logik so spezielle Haken und Manipulationen gebrauchen? Nur, indem sich alle diese zu einem unendlich feinen Netzwerk, zu dem großen Spiegel, verknüpfen.
英1 How can the all-embracing logic which mirrors the world use such speial catches and manipulations? Only because all these are connected into an infinitely fine network, to the great mirror.
英2 How can logic—all-embracing logic, which mirrors the world—use such peculiar crotchets and contrivances? Only because they are all connected with one another in an infinitely fine network, the great mirror.
5.512
独   »~p« ist wahr, wenn »p« falsch ist. Also in dem wahren Satz »~p« ist »p« ein falscher Satz. Wie kann ihn nun der Strich »~« mit der Wirklichkeit zum Stimmen bringen?
Das, was in »~p« verneint, ist aber nicht das »~«, sondern dasjenige, was allen Zeichen dieser Notation, welche p verneinen, gemeinsam ist.
Also die gemeinsame Regel, nach welcher »~p«, »~~~p«, »~p ~p«, »~p . ~p«, etc. etc. (ad inf.) gebildet werden. Und dies Gemeinsame spiegelt die Verneinung wider.
英1 "~p" is true if "p" is false. Therefore in the true proposition "~p" "p" is a false proposition. How then can the stroke "~" bring it into agreement with reality?
That which denies in "~p" is however not "~", but that which all signs of this notation, which deny p, have in common.
Hence the common rule according to which "~p", "~~~p", "~p ~p", "~p . ~p", etc. etc. (to infinity) are constructed. And this which is common to them all mirrors denial.
英2 ~p’ is true if ‘p’ is false. Therefore, in the proposition ‘~p’, when it is true, ‘p’ is a false proposition. How then can the stroke ‘~’ make it agree with reality?
But in ‘~p’ it is not ‘~’ that negates, it is rather what is common to all the signs of this notation that negate p.
That is to say the common rule that governs the construction of ‘~p’, ‘~~~p’, ‘~p~p’, ‘~p.~p’, etc. etc. (ad inf.). And this common factor mirrors negation.
5.513
独   Man könnte sagen: Das Gemeinsame aller Symbole, die sowohl p als q bejahen, ist der Satz »p . q«. Das Gemeinsame aller Symbole, die entweder p oder q bejahen, ist der Satz »p q«.
Und so kann man sagen: Zwei Sätze sind einander entgegengesetzt, wenn sie nichts miteinander gemein haben, und: Jeder Satz hat nur ein Negativ, weil es nur einen Satz gibt, der ganz außerhalb seiner liegt.
Es zeigt sich so auch in Russells Notation, dass »q : p ~p« dasselbe sagt wie »q«; dass »p ~p« nichts sagt.
英1 We could say: What is common to all symbols, which assert both p and q, is the proposition "p . q". What is common to all symbols, which asserts either p or q, is the proposition "p q".
And similarly we can say: Two p ropositions are opposed to one another when they have nothing in common with one another; and every proposition has only one negative, because there is only one proposition which lies altogether outside it.
Thus in Russell's notation also it appears evident that "q : p ~p" says the same thing as "q"; that "p ~p" says nothing.
英2 We might say that what is common to all symbols that affirm both p and q is the proposition ‘p.q’; and that what is common to all symbols that affirm either p or q is the proposition ‘pq’.
And similarly we can say that two propositions are opposed to one another if they have nothing in common with one another, and that every proposition has only one negative, since there is only one proposition that lies completely outside it.
Thus in Russell’s notation too it is manifest that ‘q:p~p’ says the same thing as ‘q’, that ‘p~p’ says nothing.
5.514
独   Ist eine Notation festgelegt, so gibt es in ihr eine Regel, nach der alle p verneinenden Sätze gebildet werden, eine Regel, nach der alle p bejahenden Sätze gebildet werden, eine Regel, nach der alle p oder q bejahenden Sätze gebildet werden, usf. Diese Regeln sind den Symbolen äquivalent und in ihnen spiegelt sich ihr Sinn wider.
英1 If a notation is fixed, there is in it a rule according to which all the propositions denying p are constructed, a rule according to which all the propositions asserting p are constructed, a rule according to which all the propositions asserting p or q are constructed, and so on. These rules are equivalent to the symbols and in them their sense is mirrored.
英2 Once a notation has been established, there will be in it a rule governing the construction of all propositions that negate p, a rule governing the construction of all propositions that affirm p, and a rule governing the construction of all propositions that affirm p or q; and so on. These rules are equivalent to the symbols; and in them their sense is mirrored.
5.515
独   Es muss sich an unseren Symbolen zeigen, dass das, was durch »«, ».«, etc. miteinander verbunden ist, Sätze sein müssen.
Und dies ist auch der Fall, denn das Symbol »p« und »q« setzt ja selbst das »«, »~«, etc. voraus. Wenn das Zeichen »p« in »p q« nicht für ein komplexes Zeichen steht, dann kann es allein nicht Sinn haben; dann können aber auch die mit »p« gleichsinnigen Zeichen »p p«, »p . p«, etc. keinen Sinn haben. Wenn aber »p p« keinen Sinn hat, dann kann auch »p q« keinen Sinn haben.
英1 It must be recognized in our symbols that what is connected by "", ".", etc., must be propositions.
And this is the case, for the symbols "p" and "q" presuppose "", "~", etc. If the sign "p" in "p q" does not stand for a complex sign, then by itself it cannot have sense; but then also the signs "p p", "p . p", etc. which have the same sense as "p" have no sense. If, however, "p p" has no sense, then also "p q" can have no sense.
英2 It must be manifest in our symbols that it can only be propositions that are combined with one another by ‘’, ‘~’, etc.
And this is indeed the case, since the symbol in ‘p’ and ‘q’ itself presupposes ‘’, ‘~’, etc. If the sign ‘p’ in ‘pq’ does not stand for a complex sign, then it cannot have sense by itself: but in that case the signs ‘pp’, ‘p.p’, etc., which have the same sense as p, must also lack sense. But if ‘pp’ has no sense, then ‘pq’ cannot have a sense either.
5.5151
独   Muss das Zeichen des negativen Satzes mit dem Zeichen des positiven gebildet werden? Warum sollte man den negativen Satz nicht durch eine negative Tatsache ausdrücken können. (Etwa: Wenn »a« nicht in einer bestimmten Beziehung zu »b« steht, könnte das ausdrücken, dass aRb nicht der Fall ist.)
Aber auch hier ist ja der negative Satz indirekt durch den positiven gebildet.
Der positive Satz muss die Existenz des negativen Satzes voraussetzen und umgekehrt.
英1 Must the sign of the negative proposition be constructed by means of the sign of the positive? Why should one not be able to express the negative proposition by means of a negative fact? (Like: if "a" does not stand in a certain relation to "b", it could express that aRb is not the case.)
But here also the negative proposition is indirectly constructed with the positive.
The positive proposition must presuppose the existence of the negative proposition and conversely.
英2 Must the sign of a negative proposition be constructed with that of the positive proposition? Why should it not be possible to express a negative proposition by means of a negative fact? (E.g. suppose that ‘a’ does not stand in a certain relation to ‘b’; then this might be used to say that aRb was not the case.)
But really even in this case the negative proposition is constructed by an indirect use of the positive.
The positive proposition necessarily presupposes the existence of the negative proposition and vice versa.
5.52
独   Sind die Werte von ξ sämtliche Werte einer Funktion fx für alle Werte von x, so wird N(ξ) = ~(∃x) . fx.
英1 If the values of ξ are the total values of a function fx for all values of x, then N(ξ) = ~(∃x) . fx.
英2 If ξ has as its values all the values of a function fx for all values of x, then N(ξ)=~(x).fx.
5.521
独   Ich trenne den Begriff Alle von der Wahrheitsfunktion.
Frege und Russell haben die Allgemeinheit in Verbindung mit dem logischen Produkt oder der logischen Summe eingeführt. So wurde es schwer, die Sätze »(x) . fx« und »(x) . fx«, in welchen beide Ideen beschlossen liegen, zu verstehen.
英1 I separate the concept all from the truth-function.
Frege and Russell have introduced generality in connexion with the logical product of the logical sum. Then it would be difficult to understand the propositions "(x) . fx" and "(x) . fx" in which both ideas lie concealed.
英2 I dissociate the concept all from truth-functions.
Frege and Russell introduced generality in association with logical product or logical sum. This made it difficult to understand the propositions ‘(x).fx’ and ‘(x).fx’, in which both ideas are embedded.
5.522
独   Das Eigentümliche der Allgemeinheitsbezeichnung ist erstens, dass sie auf ein logisches Urbild hinweist, und zweitens, dass sie Konstante hervorhebt.
英1 That which is peculiar to the "symbolism of generality" is firstly, that it refers to a logical prototype, and secondly, that it makes constants prominent.
英2 What is peculiar to the generality-sign is first, that it indicates a logical prototype, and secondly, that it gives prominence to constants.
5.523
独   Die Allgemeinheitsbezeichnung tritt als Argument auf.
英1 The generality symbol occurs as an argument.
英2 The generality-sign occurs as an argument.
5.524
独   Wenn die Gegenstände gegeben sind, so sind uns damit auch schon alle Gegenstände gegeben.
Wenn die Elementarsätze gegeben sind, so sind damit auch alle Elementarsätze gegeben.
英1 If the objects are given, therewith are all objects also given.
If the elementary propositions are given, then therewith all elementary propositions are also given.
英2 If objects are given, then at the same time we are given all objects.
If elementary propositions are given, then at the same time all elementary propositions are given.
5.525
独   Es ist unrichtig, den Satz »(x ) . fx« - wie Russell dies tut - in Worten durch »fx ist möglich« wiederzugeben.
Gewißheit, Möglichkeit oder Unmöglichkeit einer Sachlage wird nicht durch einen Satz ausgedrückt, sondern dadurch, dass ein Ausdruck eine Tautologie, ein sinnvoller Satz oder eine Kontradiktion ist.
Jener Präzedenzfall, auf den man sich immer berufen möchte, muss schon im Symbol selber liegen.
英1 It is not correct to render the proposition "(x ) . fx" -- as Russell does -- in the words "fx is possible".
Certainty, possibility or impossibility of a state of affairs are not expressed by a proposition but by the fact that an expression is a tautology, a significant proposition or a contradiction.
That precedent to which one would always appeal, must be present in the symbol itself.
英2 It is incorrect to render the proposition ‘(x).fx’ in the words, ‘fx is possible’ as Russell does.
The certainty, possibility, or impossibility of a situation is not expressed by a proposition, but by an expression’s being a tautology, a proposition with a sense, or a contradiction.
The precedent to which we are constantly inclined to appeal must reside in the symbol itself.
5.526
独   Man kann die Welt vollständig durch vollkommen verallgemeinerte Sätze beschreiben, das heißt also, ohne irgendeinen Namen von vornherein einem bestimmten Gegenstand zuzuordnen.
Um dann auf die gewöhnliche Ausdrucksweise zu kommen, muss man einfach nach einem Ausdruck: »Es gibt ein und nur ein x, welches...« sagen: Und dies x ist a.
英1 One can describe the world completely by completely generalized propositions, i.e. without from the outset co-ordinating any name with a definite object.
In order then to arrive at the customary way of expression we need simply say after an expression "there is only and only one x, which . . . .": and this x is a.
英2 We can describe the world completely by means of fully generalized propositions, i.e. without first correlating any name with a particular object.
Then, in order to arrive at the customary mode of expression, we simply need to add, after an expression like, ‘There is one and only one x such that …’, the words, ‘and that x is a’.
5.5261
独   Ein vollkommen verallgemeinerter Satz ist, wie jeder andere Satz, zusammengesetzt. (Dies zeigt sich daran, dass wir in »(x, ϕ) . ϕx« »ϕ« und »x« getrennt erwähnen müssen. Beide stehen unabhängig in bezeichnenden Beziehungen zur Welt, wie im unverallgemeinerten Satz.)
Kennzeichen des zusammengesetzten Symbols: Es hat etwas mit anderen Symbolen gemeinsam.
英1 A completely generalized proposition is like every other proposition composite. (This is shown by the fact that in "(x, ϕ) . ϕx" we must mention "ϕ" and "x" separately. Both stand independently in signifying relations to the world as in the ungeneralized proposition.)
A characteristic of a compositie symbol: it has something in common with other symbols.
英2 A fully generalized proposition, like every other proposition, is composite. (This is shown by the fact that in ‘(x, ϕ).ϕx’ we have to mention ‘ϕ’ and ‘x’ separately. They both, independently, stand in signifying relations to the world, just as is the case in ungeneralized propositions.)
It is a mark of a composite symbol that it has something in common with other symbols.
5.5262
独   Es verändert ja die Wahr- oder Falschheit jedes Satzes etwas am allgemeinen Bau der Welt. Und der Spielraum, welcher ihrem Bau durch die Gesamtheit der Elementarsätze gelassen wird, ist eben derjenige, welchen die ganz allgemeinen Sätze begrenzen.
(Wenn ein Elementarsatz wahr ist, so ist damit doch jedenfalls Ein Elementarsatz mehr wahr.)
英1 The truth or falsehood of every proposition alters something in the general structure of the world. And the range which is allowed to its structure by the totality of elementary propositions is exactly that which the completely general propositions delimit.
(If an elementary proposition is true, then, at any rate, there is one more elementary proposition true.)
英2 The truth or falsity of every proposition does make some alteration in the general construction of the world. And the range that the totality of elementary propositions leaves open for its construction is exactly the same as that which is delimited by entirely general propositions.
(If an elementary proposition is true, that means, at any rate, one more true elementary proposition.)
5.53
独   Gleichheit des Gegenstandes drücke ich durch Gleichheit des Zeichens aus, und nicht mit Hilfe eines Gleichheitszeichens. Verschiedenheit der Gegenstände durch Verschiedenheit der Zeichen.
英1 Identity of the object I express by identity of the sign and not by means of a sign of identity. Difference of the objects by difference of the signs.
英2 Identity of object I express by identity of sign, and not by using a sign for identity. Difference of objects I express by difference of signs.
5.5301
独   Dass die Identität keine Relation zwischen Gegenständen ist, leuchtet ein. Dies wird sehr klar, wenn man z.B. den Satz »(x) : fx .. x = a« betrachtet. Was dieser Satz sagt, ist einfach, dass nur a der Funktion f genügt, und nicht, dass nur solche Dinge der Funktion f genügen, welche eine gewisse Beziehung zu a haben.
Man könnte nun freilich sagen, dass eben nur a diese Beziehung zu a habe, aber, um dies auszudrücken, brauchten wir das Gleichheitszeichen selber.
英1 That identity is not a relation between objects is obvious. This becomes very clear if, for example, one considers the proposition "(x) : fx .. x = a". What this proposition says is simply that only a satisfies the function f, and not that only such things satisfy the function f which have a certain relation to a.
One could of course say that in fact only a has this relation to a, but in order to express this we should need the sign of identity itself.
英2 It is self-evident that identity is not a relation between objects. This becomes very clear if one considers, for example, the proposition ‘(x):fx..x=a’. What this proposition says is simply that only a satisfies the function f, and not that only things that have a certain relation to a satisfy the function f.
Of course, it might then be said that only a did have this relation to a; but in order to express that, we should need the identity-sign itself.
5.5302
独   Russells Definition von »=« genügt nicht; weil man nach ihr nicht sagen kann, dass zwei Gegenstände alle Eigenschaften gemeinsam haben. (Selbst wenn dieser Satz nie richtig ist, hat er doch Sinn.)
英1 Russell's definition of "=" won't do; because according to it one cannot say that two objects have all their properties in common. (Even if this proposition is never true, it is nevertheless significant.)
英2 Russell’s definition of ‘=’ is inadequate, because according to it we cannot say that two objects have all their properties in common. (Even if this proposition is never correct, it still has sense.)
5.5303
独   Beiläufig gesprochen: Von zwei Dingen zu sagen, sie seien identisch, ist ein Unsinn, und von Einem zu sagen, es sei identisch mit sich selbst, sagt gar nichts.
英1 Roughly speaking: to say of two things that they are identical is nonsense, and to say of one thing that it is identical with itself is to say nothing.
英2 Roughly speaking, to say of two things that they are identical is nonsense, and to say of one thing that it is identical with itself is to say nothing at all.
5.531
独   Ich schreibe also nicht »f(a, b) . a = b«, sondern »f(a, a)« (oder »f(b, b)«). Und nicht »f(a, b) . ~a = b«, sondern »f(a, b)«.
英1 I write therefore not "f(a, b) . a = b" but "f(a, a)" (or "f(b, b)"). And not "f(a, b) . ~a = b", but "f(a, b)".
英2 Thus I do not write ‘f(a,b).a=b’, but ‘f(a,a)’ (or ‘f(b,b)’); and not ‘f(a,b).~a=b’, but ‘f(a,b)’.
5.532
独   Und analog: Nicht »(x, y) . f(x, y) . x = y«, sondern »(x ) . f(x, x)«, und nicht »(x , y) . f(x, y) . ~x = y«, sondern »(x, y) . f(x, y)«.
(Also statt des Russellschen »(x , y) . f (x, y)«
»(x , y) . f(x, y) .. (x ) . f(x, x)«.)
英1 And analogously: not "(x, y) . f(x, y) . x = y", but "(x ) . f(x, x)"; and not "(x , y) . f(x, y) . ~x = y", but "(x, y) . f(x, y)".
(Therefore instead of Russell's "(x , y) . f (x, y)" : "(x , y) . f(x, y) .. (x ) . f(x, x)".)
英2 And analogously I do not write ‘(x,y).f(x,y).x=y’, but ‘(x).f(x,x)’; and not ‘(x,y).f(x,y).~x=y’, but ‘(x,y).f(x,y)’.
(So Russell’s ‘(x,y).f(x,y)’ becomes ‘(x,y).f(x,y)..(x).f(x,x)’.)
5.5321
独   Statt »(x) : fx x = a« schreiben wir also z.B. »(x) . fx .. fa : ~(x , y) . fx . fy«.
Und der Satz: »Nur Ein x befriedigt f( )« lautet: »(x) . fx : ~(x , y) . fx . fy«.
英1 Instead of "(x) : fx x = a" we therefore write e.g. "(x) . fx .. fa : ~(x , y) . fx . fy".
And if the proposition "only one x satisfies f( )" reads: "(x) . fx : ~(x , y) . fx . fy".
英2 Thus, for example, instead of ‘(x):fx x=a’ we write ‘(x).fx..fa:~(x,y).fx.fy’.
And the proposition, ‘Only one x satisfies f( )’, will read ‘(x).fx..fa:~(x,y).fx.fy’.
5.533
独   Das Gleichheitszeichen ist also kein wesentlicher Bestandteil der Begriffsschrift.
英1 The identity sign is therefore not an essential constituent of logical notation.
英2 The identity-sign, therefore, is not an essential constituent of conceptual notation.
5.534
独   Und nun sehen wir, dass Scheinsätze wie: »a = a«, »a = b . b = c . a = c«, »(x) . x = x«, »(x ) . x = a«, etc. sich in einer richtigen Begriffsschrift gar nicht hinschreiben lassen.
英1 And we see that the apparent propositions like: "a = a", "a = b . b = c . a = c", "(x) . x = x". "(x ) . x = a", etc. cannot be written in a correct logical notation at all.
英2 And now we see that in a correct conceptual notation pseudo-propositions like ‘a=a’, ‘a=b.b=c.a=c’, ‘(x).x=x’, ‘(x).x=a’, etc. cannot even be written down.
5.535
独   Damit erledigen sich auch alle Probleme, die an solche Scheinsätze geknüpft waren.
Alle Probleme, die Russells »Axiom of Infinity« mit sich bringt, sind schon hier zu lösen.
Das, was das Axiom of Infinity sagen soll, würde sich in der Sprache dadurch ausdrücken, dass es unendlich viele Namen mit verschiedener Bedeutung gäbe.
英1 So all problems disappear which are connected with such pseudo-propositions.
This is the place to solve all the problems with arise through Russell's "Axiom of Infinity".
What the axiom of infinity is meant to say would be expressed in language by the fact that there is an infinite number of names with different meanings.
英2 This also disposes of all the problems that were connected with such pseudo-propositions.
All the problems that Russell’s ‘axiom of infinity’ brings with it can be solved at this point.
What the axiom of infinity is intended to say would express itself in language through the existence of infinitely many names with different meanings.
5.5351
独   Es gibt gewisse Fälle, wo man in Versuchung gerät, Ausdrücke von der Form »a = a« oder »p p« u. dgl. zu benützen. Und zwar geschieht dies, wenn man von dem Urbild: Satz, Ding, etc. reden möchte. So hat Russell in den »Principles of Mathematics« den Unsinn »p ist ein Satz« in Symbolen durch »p p« wiedergegeben und als Hypothese vor gewisse Sätze gestellt, damit deren Argumentstellen nur von Sätzen besetzt werden könnten.
(Es ist schon darum Unsinn, die Hypothese p p vor einen Satz zu stellen, um ihm Argumente der richtigen Form zu sichern, weil die Hypothese für einen Nicht-Satz als Argument nicht falsch, sondern unsinnig wird, und weil der Satz selbst durch die unrichtige Gattung von Argumenten unsinnig wird, also sich selbst ebenso gut, oder so schlecht, vor den unrechten Argumenten bewahrt wie die zu diesem Zweck angehängte sinnlose Hypothese.)
英1 There are certain cases in which one is tempted to use expressions of the form "a = a" or "p p" As, for instance, when one would speak of the archtype Proposition, Thing, etc. So Russell in the Princples of Mathematics has rendered the nonsense "p is a proposition" in symbols by "p p" and has put it as hypothesis before certain propositions to show that their places for arguments could only be occurpied by propositions.
(It is nonsense to place the hypothesis p p before a proposition in order to ensure that its arguments have the right form, because the hypotheses for a non-proposition as arugment becomes not false but meaningless, and because the proposition itself becomes senseless for arguments of the wrong kind, and therefore it survives the wrong arguments no better and no worse than the senseless hypthesis attached for this purpose.)
英2 There are certain cases in which one is tempted to use expressions of the form ‘a=a’ or ‘pp’ and the like. In fact, this happens when one wants to talk about prototypes, e.g. about proposition, thing, etc. Thus in Russell’s Principles of Mathematicsp is a proposition’—which is nonsense—was given the symbolic rendering ‘pp’ and placed as an hypothesis in front of certain propositions in order to exclude from their argument-places everything but propositions.
(It is nonsense to place the hypothesis ‘pp’ in front of a proposition, in order to ensure that its arguments shall have the right form, if only because with a non-proposition as argument the hypothesis becomes not false but nonsensical, and because arguments of the wrong kind make the proposition itself nonsensical, so that it preserves itself from wrong arguments just as well, or as badly, as the hypothesis without sense that was appended for that purpose.)
5.5352
独   Ebenso wollte man »Es gibt keine Dinge« ausdrücken durch »~(x ) . x = x«. Aber selbst wenn dies ein Satz wäre - wäre er nicht auch wahr, wenn es zwar »Dinge gäbe«, aber diese nicht mit sich selbst identisch wären?
英1 Similarly it was proposed to express "There are no things" by "~(x ) . x = x". But even if this were a proposition -- would it not be true if indeed "There were things", but these were not identical with themselves?
英2 In the same way people have wanted to express, ‘There are no things’, by writing ‘~(x).x=x’. But even if this were a proposition, would it not be equally true if in fact ‘there were things’ but they were not identical with themselves?
5.54
独   In der allgemeinen Satzform kommt der Satz im Satze nur als Basis der Wahrheitsoperationen vor.
英1 In the general propositional form, propositions occur in a proposition only as bases of the truth-operations.
英2 In the general propositional form propositions occur in other propositions only as bases of truth-operations.
5.541
独   Auf den ersten Blick scheint es, als könne ein Satz in einem anderen auch auf andere Weise vorkommen.
Besonders in gewissen Satzformen der Psychologie, wie »A glaubt, dass p der Fall ist«, oder »A denkt p«, etc.
Hier scheint es nämlich oberflächlich, als stünde der Satz p zu einem Gegenstand A in einer Art von Relation.
(Und in der modernen Erkenntnistheorie (Russell, Moore, etc.) sind jene Sätze auch so aufgefasst worden.)
英1 At first sight it appears as if there were also a different way in which one proposition could occur in another.
Especially in certain propositional forms of psychology, like "A thinks, that p is the case", or "A thinks p", etc.
Here it appears superficially as if the proposition p stood to the object A in a kind of relation.
(And in modern epistemology (Russell, Moore, etc.) those propositions have been conceived in this way.)
英2 At first sight it looks as if it were also possible for one proposition to occur in another in a different way.
Particularly with certain forms of proposition in psychology, such as ‘A believes that p is the case’ and A has the thought p’, etc.
For if these are considered superficially, it looks as if the proposition p stood in some kind of relation to an object A.
(And in modern theory of knowledge (Russell, Moore, etc.) these propositions have actually been construed in this way.)
5.542
独   Es ist aber klar, dass »A glaubt, dass p«, »A denkt p«, »A sagt p« von der Form »›p‹ sagt p« sind: Und hier handelt es sich nicht um eine Zuordnung von einer Tatsache und einem Gegenstand, sondern um die Zuordnung von Tatsachen durch Zuordnung ihrer Gegenstände.
英1 But it is clear that "A believes that p", "A thinks p", "A says p", are of the form "`p' says p": and here we have no co-ordination of a fact and an object, but a co-ordination of facts by means of a co-ordination of their objects.
英2 It is clear, however, that ‘A believes that p’, ‘A has the thought p’, and ‘A says p’ are of the form ‘“p” says p’: and this does not involve a correlation of a fact with an object, but rather the correlation of facts by means of the correlation of their objects.
5.5421
独   Dies zeigt auch, dass die Seele - das Subjekt etc. - wie sie in der heutigen oberflächlichen Psychologie aufgefasst wird, ein Unding ist.
Eine zusammengesetzte Seele wäre nämlich keine Seele mehr.
英1 This shows that there is no such thing as the soul -- the subject, etc. -- as it is conceived in superficial psychology.
A composite soul would not be a soul any longer.
英2 This shows too that there is no such thing as the soul—the subject, etc.—as it is conceived in the superficial psychology of the present day.
Indeed a composite soul would no longer be a soul.
5.5422
独   Die richtige Erklärung der Form des Satzes »A urteilt p« muss zeigen, dass es unmöglich ist, einen Unsinn zu urteilen. (Russells Theorie genügt dieser Bedingung nicht.)
英1 The correct explanation of the form of the proposition "A judges p" must show that it is impossible to judge a nonsense. (Russell's theory does not satisfy this condition.)
英2 The correct explanation of the form of the proposition, ‘A makes the judgement p’, must show that it is impossible for a judgement to be a piece of nonsense. (Russell’s theory does not satisfy this requirement.)
5.5423
独   Einen Komplex wahrnehmen heißt wahrnehmen, dass sich seine Bestandteile so und so zu einander verhalten.
Dies erklärt wohl auch, dass man die Figur
auf zweierlei Art als Würfel sehen kann; und alle ähnlichen Erscheinungen. Denn wir sehen eben wirklich zwei verschiedene Tatsachen.
(Sehe ich erst auf die Ecken a und nur flüchtig auf b, so erscheint a vorne; und umgekehrt.)
英1 To perceive a complex means to perceive that its constituents are combined in such and such a way.
This perhaps explains that the figure
can be seen in two ways as a cube; and all similar phenomena. For we really see two different facts.
(If I fix my eyes first on the corners a and only glance at b, a appears in front and b behind, and vice versa.)
英2 To perceive a complex means to perceive that its constituents are related to one another in such and such a way.
This no doubt also explains why there are two possible ways of seeing the figure

as a cube; and all similar phenomena. For we really see two different facts.
(If I look in the first place at the corners marked a and only glance at the b’s, then the a’s appear to be in front, and vice versa).
5.55
独   Wir müssen nun die Frage nach allen möglichen Formen der Elementarsätze a priori beantworten.
Der Elementarsatz besteht aus Namen. Da wir aber die Anzahl der Namen von verschiedener Bedeutung nicht angeben können, so können wir auch nicht die Zusammensetzung des Elementarsatzes angeben.
英1 We must now answer a priori the question as to all possible forms of the elementary propositions.
The elementary proposition consists of names. Since we cannot give the number of names with different meanings, we cannot give the composition of the elementary proposition.
英2 We now have to answer a priori the question about all the possible forms of elementary propositions.
Elementary propositions consist of names. Since, however, we are unable to give the number of names with different meanings, we are also unable to give the composition of elementary propositions.
5.551
独   Unser Grundsatz ist, dass jede Frage, die sich überhaupt durch die Logik entscheiden lässt, sich ohne weiteres entscheiden lassen muss.
(Und wenn wir in die Lage kommen, ein solches Problem durch Ansehen der Welt beantworten zu müssen, so zeigt dies, dass wir auf grundfalscher Fährte sind.)
英1 Our fundamental principle is that every question which can be decided at all by logic can be decided off-hand.
(And if we get into a situation where we need to answer such a problem by looking at the world, this shows that we are on a fundamentally wrong track.)
英2 Our fundamental principle is that whenever a question can be decided by logic at all it must be possible to decide it without more ado.
(And if we get into a position where we have to look at the world for an answer to such a problem, that shows that we are on a completely wrong track.)
5.552
独   Die »Erfahrung«, die wir zum Verstehen der Logik brauchen, ist nicht die, dass sich etwas so und so verhält, sondern, dass etwas ist: aber das ist eben keine Erfahrung.
Die Logik ist vor jeder Erfahrung - dass etwas so ist.
Sie ist vor dem Wie, nicht vor dem Was.
英1 The "experience" which we need to understand logic is not that such and such is the case, but that something is; but that is no experience.
Logic precedes every experience -- that something is so.
It is before the How, not before the What.
英2 The ‘experience’ that we need in order to understand logic is not that something or other is the state of things, but that something is: that, however, is not an experience.
Logic is prior to every experience—that something is so.
It is prior to the question ‘How?’, not prior to the question ‘What?’
5.5521
独   Und wenn dies nicht so wäre, wie könnten wir die Logik anwenden? Man könnte sagen: Wenn es eine Logik gäbe, auch wenn es keine Welt gäbe, wie könnte es dann eine Logik geben, da es eine Welt gibt?
英1 And if this were not the case, how could we apply logic? We could say: if there were a logic, even if there were no world, how then could there be a logic, since there is a world?
英2 And if this were not so, how could we apply logic? We might put it in this way: if there would be a logic even if there were no world, how then could there be a logic given that there is a world?
5.553
独   Russell sagte, es gäbe einfache Relationen zwischen verschiedenen Anzahlen von Dingen (Individuals). Aber zwischen welchen Anzahlen? Und wie soll sich das entscheiden? - Durch die Erfahrung?
(Eine ausgezeichnete Zahl gibt es nicht.)
英1 Russell said that there were simple relations between different numbers of things (individuals). But between what numbers? And how should this be decided -- by experience?
(There is no pre-eminent number.)
英2 Russell said that there were simple relations between different numbers of things (individuals). But between what numbers? And how is this supposed to be decided?—By experience?
(There is no privileged number.)
5.554
独   Die Angabe jeder speziellen Form wäre vollkommen willkürlich.
英1 The enumeration of any special forms would be entirely arbitrary.
英2 It would be completely arbitrary to give any specific form.
5.5541
独   Es soll sich a priori angeben lassen, ob ich z.B. in die Lage kommen kann, etwas mit dem Zeichen einer 27stelligen Relation bezeichnen zu müssen.
英1 How could we decide a priori whether, for example, I can get into a situation in which I need to symbolize with a sign of a 27-termed relation?
英2 It is supposed to be possible to answer a priori the question whether I can get into a position in which I need the sign for a 27-termed relation in order to signify something.
5.5542
独   Dürfen wir denn aber überhaupt so fragen? Können wir eine Zeichenform aufstellen und nicht wissen, ob ihr etwas entsprechen könne?
Hat die Frage einen Sinn: Was muss sein, damit etwas der-Fall-sein kann?
英1 May we then ask this at all? Can we set out a sign form and not know whether anything can correspond to it?
Has the question sense: what must there be in order that anything can be the case?
英2 But is it really legitimate even to ask such a question? Can we set up a form of sign without knowing whether anything can correspond to it?
Does it make sense to ask what there must be in order that something can be the case?
5.555
独   Es ist klar, wir haben vom Elementarsatz einen Begriff, abgesehen von seiner besonderen logischen Form.
Wo man aber Symbole nach einem System bilden kann, dort ist dieses System das logisch wichtige und nicht die einzelnen Symbole.
Und wie wäre es auch möglich, dass ich es in der Logik mit Formen zu tun hätte, die ich erfinden kann; sondern mit dem muss ich es zu tun haben, was es mir möglich macht, sie zu erfinden.
英1 It is clear that we have a concept of the elementary proposition apart from its special logical form.
Where, however, we can build symbols according to a system, there this system is the logically important thing and not the single symbols.
And how would it be possible that I should have to deal with forms in logic which I can invent: but I must have to deal with that which makes it possible for me to invent them.
英2 Clearly we have some concept of elementary propositions quite apart from their particular logical forms.
But when there is a system by which we can create symbols, the system is what is important for logic and not the individual symbols.
And anyway, is it really possible that in logic I should have to deal with forms that I can invent? What I have to deal with must be that which makes it possible for me to invent them.
5.556
独   Eine Hierarchie der Formen der Elementarsätze kann es nicht geben. Nur was wir selbst konstruieren, können wir voraussehen.
英1 There cannot be a hierarchy of the forms of the elementary propositions. Only that which we ourselves construct can we foresee.
英2 There cannot be a hierarchy of the forms of elementary propositions. We can foresee only what we ourselves construct.
5.5561
独   Die empirische Realität ist begrenzt durch die Gesamtheit der Gegenstände. Die Grenze zeigt sich wieder in der Gesamtheit der Elementarsätze.
Die Hierarchien sind, und müssen unabhängig von der Realität sein.
英1 Empirical reality is limited by the totality of objects. The boundary appears again in the totality of elementary propositions.
The hierarchies are and must be independent of reality.
英2 Empirical reality is limited by the totality of objects. The limit also makes itself manifest in the totality of elementary propositions.
Hierarchies are and must be independent of reality.
5.5562
独   Wissen wir aus rein logischen Gründen, dass es Elementarsätze geben muss, dann muss es jeder wissen, der die Sätze in ihrer unanalysierten Form versteht.
英1 If we know on purely logical grounds, that there must be elementary propositions, then this must be known by everyone who understands propositions in their unanalysed form.
英2 If we know on purely logical grounds that there must be elementary propositions, then everyone who understands propositions in their unanalyzed form must know it.
5.5563
独   Alle Sätze unserer Umgangssprache sind tatsächlich, so wie sie sind, logisch vollkommen geordnet. - Jenes Einfachste, was wir hier angeben sollen, ist nicht ein Gleichnis der Wahrheit, sondern die volle Wahrheit selbst.
(Unsere Probleme sind nicht abstrakt, sondern vielleicht die konkretesten, die es gibt.)
英1 All propositions of our colloquial language are actually, just as they are, logically completely in order. That simple thing which we ought to give here is not a model of the truth but the complete truth itself.
(Our problems are not abstract but perhaps the most concrete that there are.)
英2 In fact, all the propositions of our everyday language, just as they stand, are in perfect logical order.—That utterly simple thing, which we have to formulate here, is not an image of the truth, but the truth itself in its entirety.
(Our problems are not abstract, but perhaps the most concrete that there are.)
5.557
独   Die Anwendung der Logik entscheidet darüber, welche Elementarsätze es gibt.
Was in der Anwendung liegt, kann die Logik nicht vorausnehmen.
Das ist klar: Die Logik darf mit ihrer Anwendung nicht kollidieren.
Aber die Logik muss sich mit ihrer Anwendung berühren.
Also dürfen die Logik und ihre Anwendung einander nicht übergreifen.
英1 The application of logic decides what elementary propositions there are.
What lies in its application logic cannot anticipate.
It is clear that logic may not conflict with its application.
But logic must have contact with its application.
Therefore logic and its application may not overlap one another.
英2 The application of logic decides what elementary propositions there are.
What belongs to its application, logic cannot anticipate.
It is clear that logic must not clash with its application.
But logic has to be in contact with its application.
Therefore logic and its application must not overlap.
5.5571
独   Wenn ich die Elementarsätze nicht a priori angeben kann, dann muss es zu offenbarem Unsinn führen, sie angeben zu wollen.
英1 If I cannot give elementary propositions a priori then it must lead to obvious nonsense to try to give them.
英2 If I cannot say a priori what elementary propositions there are, then the attempt to do so must lead to obvious nonsense.
5.6
独   Die Grenzen meiner Sprache bedeuten die Grenzen meiner Welt.
英1 The limits of my language mean the limits of my world.
英2 The limits of my language mean the limits of my world.
5.61
独   Die Logik erfüllt die Welt; die Grenzen der Welt sind auch ihre Grenzen.
Wir können also in der Logik nicht sagen: Das und das gibt es in der Welt, jenes nicht.
Das würde nämlich scheinbar voraussetzen, dass wir gewisse Möglichkeiten ausschließen, und dies kann nicht der Fall sein, da sonst die Logik über die Grenzen der Welt hinaus müsste; wenn sie nämlich diese Grenzen auch von der anderen Seite betrachten könnte.
Was wir nicht denken können, das können wir nicht denken; wir können also auch nicht sagen, was wir nicht denken können.
英1 Logic fills the world: the limits of the world are also its limits.
We cannot therefore say in logic: This and this there is in the world, that there is not.
For that would apparently presuppose that we exclude certain possibilities, and this cannot be the case since otherwise logic must get outside the limits of the world: that is, if it could consider these limits from the other side also.
What we cannot think, that we cannot think: we cannot therefore say what we cannot think.
英2 Logic pervades the world: the limits of the world are also its limits.
So we cannot say in logic, ‘The world has this in it, and this, but not that.’
For that would appear to presuppose that we were excluding certain possibilities, and this cannot be the case, since it would require that logic should go beyond the limits of the world; for only in that way could it view those limits from the other side as well.
We cannot think what we cannot think; so what we cannot think we cannot say either.
5.62
独   Diese Bemerkung gibt den Schlüssel zur Entscheidung der Frage, inwieweit der Solipsismus eine Wahrheit ist.
Was der Solipsismus nämlich meint, ist ganz richtig, nur lässt es sich nicht sagen, sondern es zeigt sich.
Dass die Welt meine Welt ist, das zeigt sich darin, dass die Grenzen der Sprache (der Sprache, die allein ich verstehe) die Grenzen meiner Welt bedeuten.
英1 This remark provides a key to the question, to what extent solipsism is a truth.
In fact what solipsism means, is quite correct, only it cannot be said, but it shows itself.
That the world is my world, shows itself in the fact that the limits of the language (the language which I understand) mean the limits of my world.
英2 This remark provides the key to the problem, how much truth there is in solipsism.
For what the solipsist means is quite correct; only it cannot be said, but makes itself manifest.
The world is my world: this is manifest in the fact that the limits of language (of that language which alone I understand) mean the limits of my world.
5.621
独   Die Welt und das Leben sind Eins.
英1 The world and life are one.
英2 The world and life are one.
5.63
独   Ich bin meine Welt. (Der Mikrokosmos.)
英1 I am the world. (The microcosm.)
英2 I am my world. (The microcosm.)
5.631
独   Das denkende, vorstellende, Subjekt gibt es nicht.
Wenn ich ein Buch schriebe »Die Welt, wie ich sie vorfand«, so wäre darin auch über meinen Leib zu berichten und zu sagen, welche Glieder meinem Willen unterstehen und welche nicht, etc., dies ist nämlich eine Methode, das Subjekt zu isolieren, oder vielmehr zu zeigen, dass es in einem wichtigen Sinne kein Subjekt gibt: Von ihm allein nämlich könnte in diesem Buche nicht die Rede sein. -
英1 The thinking, presenting subject; there is no such thing.
If I wrote a book "The world as I found it", I should also have therein to report on my body and say which members obey my will and which do not, etc. This then would be a method of isolating the subject or rather of showing that in an important sense there is no subject: that is to say, of it alone in this book mention could not be made.
英2 There is no such thing as the subject that thinks or entertains ideas.
If I wrote a book called The World as I found it, I should have to include a report on my body, and should have to say which parts were subordinate to my will, and which were not, etc., this being a method of isolating the subject, or rather of showing that in an important sense there is no subject; for it alone could not be mentioned in that book.—
5.632
独   Das Subjekt gehört nicht zur Welt, sondern es ist eine Grenze der Welt.
英1 The subject does not belong to the world but it is a limit of the world
英2 The subject does not belong to the world: rather, it is a limit of the world.
5.633
独   Wo in der Welt ist ein metaphysisches Subjekt zu merken?
Du sagst, es verhält sich hier ganz wie mit Auge und Gesichtsfeld. Aber das Auge siehst du wirklich nicht.
Und nichts am Gesichtsfeld lässt darauf schließen, dass es von einem Auge gesehen wird.
英1 Where in the world is a metaphysical subject to be noted?
You say that this case is altogether like that of the eye and the field of sight. But you do not really see the eye.
And from nothing in the field of sight can it be concluded that it is seen from an eye.
英2 Where in the world is a metaphysical subject to be found?
You will say that this is exactly like the case of the eye and the visual field. But really you do not see the eye.
And nothing in the visual field allows you to infer that it is seen by an eye.
5.6331
独   Das Gesichtsfeld hat nämlich nicht etwa eine solche Form:
Auge —
英1 For the field of sight has not a form like this:
Eye —
英2 For the form of the visual field is surely not like this
Eye —
5.634
独   Das hängt damit zusammen, dass kein Teil unserer Erfahrung auch a priori ist.
Alles, was wir sehen, könnte auch anders sein.
Alles, was wir überhaupt beschreiben können, könnte auch anders sein.
Es gibt keine Ordnung der Dinge a priori.
英1 This is connected with the fact that no part of our experience is also a priori.
Everything we see could also be otherwise.
Everything we describe at all could also be otherwise.
There is no order of things a priori.
英2 This is connected with the fact that no part of our experience is at the same time a priori.
Whatever we see could be other than it is.
Whatever we can describe at all could be other than it is.
There is no a priori order of things.
5.64
独   Hier sieht man, dass der Solipsismus, streng durchgeführt, mit dem reinen Realismus zusammenfällt. Das Ich des Solipsismus schrumpft zum ausdehnungslosen Punkt zusammen, und es bleibt die ihm koordinierte Realität.
英1 Here we see that solipsism strictly carried out coincides with pure realism. The I in solipsism shrinks to an extensionless point and there remains the reality co-ordinated with it.
英2 Here it can be seen that solipsism, when its implications are followed out strictly, coincides with pure realism. The self of solipsism shrinks to a point without extension, and there remains the reality co-ordinated with it.
5.641
独   Es gibt also wirklich einen Sinn, in welchem in der Philosophie nichtpsychologisch vom Ich die Rede sein kann.
Das Ich tritt in die Philosophie dadurch ein, dass »die Welt meine Welt ist«.
Das philosophische Ich ist nicht der Mensch, nicht der menschliche Körper, oder die menschliche Seele, von der die Psychologie handelt, sondern das metaphysische Subjekt, die Grenze - nicht ein Teil - der Welt.
英1 There is therefore really a sense in which the philosophy we can talk of a non-psychological I.
The I occurs in philosophy through the fact that the "world is my world".
The philosophical I is not the man, not the human body or the human soul of which psychology treats, but the metaphysical subject, the limit -- not a part of the world.
英2 Thus there really is a sense in which philosophy can talk about the self in a non-psychological way.
What brings the self into philosophy is the fact that ‘the world is my world’.
The philosophical self is not the human being, not the human body, or the human soul, with which psychology deals, but rather the metaphysical subject, the limit of the world—not a part of it.
6
独   Die allgemeine Form der Wahrheitsfunktion ist: [ p, ξ, N(ξ) ].
Dies ist die allgemeine Form des Satzes.
英1 The general form of truth-function is: [ p, ξ, N(ξ) ].
This is the general form of proposition.
英2 The general form of a truth-function is [p, ξ, N(ξ)].
This is the general form of a proposition.
6.001
独   Dies sagt nichts anderes, als dass jeder Satz ein Resultat der successiven Anwendung der Operation N(ξ) auf die Elementarsätze ist.
英1 This says nothing else than that every proposition is the result of successive applications of the operation N(ξ) to the elementary propositions.
英2 What this says is just that every proposition is a result of successive applications to elementary propositions of the operation N(ξ).
6.002
独   Ist die allgemeine Form gegeben, wie ein Satz gebaut ist, so ist damit auch schon die allgemeine Form davon gegeben, wie aus einem Satz durch eine Operation ein anderer erzeugt werden kann.
英1 If we are given the general form of the way in which a proposition is constructed, then thereby we are also given the general form of the way in which by an operation out of one proposition another can be created.
英2 If we are given the general form according to which propositions are constructed, then with it we are also given the general form according to which one proposition can be generated out of another by means of an operation.
6.01
独   Die allgemeine Form der Operation Ω'(η) ist also: [ ξ, N(ξ) ]'(η) ( = [ η, ξ, N(η) ] ).
Das ist die allgemeinste Form des überganges von einem Satz zum anderen.
英1 The general form of the operation Ω'(η) is therefore: [ ξ, N(ξ) ]'(η) ( = [ η, ξ, N(η) ] ).
This is the most general form of transition from one proposition to another.
英2 Therefore the general form of an operation Ω’(η) is [ξ, N(ξ)]’(η) (=[η, ξ, N(ξ)]).
This is the most general form of transition from one proposition to another.
6.02
独   Und so kommen wir zu den Zahlen: Ich definiere
x = Ω0'x Def. und
Ω'Ων'x = Ων+1'x Def.
Nach diesen Zeichenregeln schreiben wir also die Reihe
x, Ω'x, Ω'Ω'x, Ω'Ω'Ω'x, . . .
so
Ω0'x, Ω0+1'x, Ω0+1+1'x, Ω0+1+1+1'x, . . .
Also schreibe ich - statt »[ x, ξ, Ω'ξ ]«
»[ Ω0'x, Ων'x, Ων+1'x ]«.
Und definiere:
0 + 1 = 1 Def.
0 + 1 + 1 = 2 Def.
0 + 1 + 1 + 1 = 3 Def.,
(usf.)
英1 And thus we come to numbers: I define
x = Ω0'x Def. and
Ω'Ων'x = Ων+1'x Def.
According, then, to these symbolic rules we write the series
x, Ω'x, Ω'Ω'x, Ω'Ω'Ω'x, . . .
as:
Ω0'x, Ω0+1'x, Ω0+1+1'x, Ω0+1+1+1'x, . . .
Therefore I write in place of "[ x, ξ, Ω'ξ ]",
"[ Ω0'x, Ων'x, Ων+1'x ]",
And I define:

0 + 1 = 1 Def.
0 + 1 + 1 = 2 Def.
0 + 1 + 1 + 1 = 3 Def.
and so on.
英2 And this is how we arrive at numbers. I give the following definitions
x=Ω0x  Def.,
Ω’Ωνx=Ων+1x  Def.
So, in accordance with these rules, which deal with signs, we write the series
x, Ω’x, Ω’Ω’x, Ω’Ω’Ω’x,
in the following way
Ω0x, Ω0+1x, Ω0+1+1x, Ω0+1+1+1x,
Therefore, instead of ‘[x, ξ, Ω’ξ]’,
I write  ‘[Ω0x, Ωνx, Ων+1x]’.
And I give the following definitions
0+1=1  Def.,
0+1+1=2  Def.,
0+1+1+1=3  Def.,
(and so on).
6.021
独   Die Zahl ist der Exponent einer Operation.
英1 A number is the exponent of an operation.
英2 A number is the exponent of an operation.
6.022
独   Der Zahlbegriff ist nichts anderes als das Gemeinsame aller Zahlen, die allgemeine Form der Zahl.
Der Zahlbegriff ist die variable Zahl.
Und der Begriff der Zahlengleichheit ist die allgemeine Form aller speziellen Zahlengleichheiten.
英1 The concept number is nothing else than that which is common to all numbers, the general form of a number.
The concept number is the variable number.
And the concept of equality of numbers is the general form of all special equalities of numbers.
英2 The concept of number is simply what is common to all numbers, the general form of a number.
The concept of number is the variable number.
And the concept of numerical equality is the general form of all particular cases of numerical equality.
6.03
独   Die allgemeine Form der ganzen Zahl ist: [ 0, ξ, ξ+1 ].
英1 The general form of the cardinal number is: [ 0, ξ, ξ+1 ].
英2 The general form of an integer is [0, ξ, ξ+1].
6.031
独   Die Theorie der Klassen ist in der Mathematik ganz überflüssig.
Dies hängt damit zusammen, dass die Allgemeinheit, welche wir in der Mathematik brauchen, nicht die zufällige ist.
英1 The theory of classes is altogether superfluous in mathematics.
This is connected with the fact that the generality which we need in mathematics is not the accidental one.
英2 The theory of classes is completely superfluous in mathematics.
This is connected with the fact that the generality required in mathematics is not accidental generality.
6.1
独   Die Sätze der Logik sind Tautologien.
英1 The propositions of logic are tautologies.
英2 The propositions of logic are tautologies.
6.11
独   Die Sätze der Logik sagen also nichts. (Sie sind die analytischen Sätze.)
英1 The propositions of logic therefore say nothing. (They are the analytical propositions.)
英2 Therefore the propositions of logic say nothing. (They are the analytic propositions.)
6.111
独   Theorien, die einen Satz der Logik gehaltvoll erscheinen lassen, sind immer falsch. Man könnte z.B. glauben, dass die Worte »wahr« und »falsch« zwei Eigenschaften unter anderen Eigenschaften bezeichnen, und da erschiene es als eine merkwürdige Tatsache, dass jeder Satz eine dieser Eigenschaften besitzt. Das scheint nun nichts weniger als selbstverständlich zu sein, ebensowenig selbstverständlich, wie etwa der Satz: »Alle Rosen sind entweder gelb oder rot« klänge, auch wenn er wahr wäre. Ja, jener Satz bekommt nun ganz den Charakter eines naturwissenschaftlichen Satzes, und dies ist das sichere Anzeichen dafür, dass er falsch aufgefasst wurde.
英1 Theories which make a proposition of logic appear substantial are always false. Once could e.g. believe that the words "true" and "false" signify two properties among other properties, and then it woud appear as a remarkable fact that every proposition possesses one of these properties. This now by no means appears self-evident, no more so than the proposition "All roses are either yellow or red" would seem even if it were true. Indeed our proposition now gets quite the character of a proposition of natural science and this is a certain symptom of its being falsely understood.
英2 All theories that make a proposition of logic appear to have content are false. One might think, for example, that the words ‘true’ and ‘false’ signified two properties among other properties, and then it would seem to be a remarkable fact that every proposition possessed one of these properties. On this theory it seems to be anything but obvious, just as, for instance, the proposition, ‘All roses are either yellow or red’, would not sound obvious even if it were true. Indeed, the logical proposition acquires all the characteristics of a proposition of natural science and this is the sure sign that it has been construed wrongly.
6.112
独   Die richtige Erklärung der logischen Sätze muss ihnen eine einzigartige Stellung unter allen Sätzen geben.
英1 The correct explanation of logical propositions must givem them a peculiar position among all propositions.
英2 The correct explanation of the propositions of logic must assign to them a unique status among all propositions.
6.113
独   Es ist das besondere Merkmal der logischen Sätze, dass man am Symbol allein erkennen kann, dass sie wahr sind, und diese Tatsache schließt die ganze Philosophie der Logik in sich. Und so ist es auch eine derwichtigsten Tatsachen, dass sich die Wahrheit oder Falschheit der nichtlogischen Sätze nicht am Satz allein erkennen lässt.
英1 It is the characteristic mark of logical propositions that one can perceive in the symbol alone that they are true; and this fact contains in itself the whole philosophy of logic. And so also it is one of the most important facts that the truth or falsehood of non-logical propositions can not be recognized from the propositions alone.
英2 It is the peculiar mark of logical propositions that one can recognize that they are true from the symbol alone, and this fact contains in itself the whole philosophy of logic. And so too it is a very important fact that the truth or falsity of non-logical propositions cannot be recognized from the propositions alone.
6.12
独   Dass die Sätze der Logik Tautologien sind, das zeigt die formalen - logischen - Eigenschaften der Sprache, der Welt.
Dass ihre Bestandteile so verknüpft eine Tautologie ergeben, das charakterisiert die Logik ihrer Bestandteile.
Damit Sätze, auf bestimmte Art und Weise verknüpft, eine Tautologie ergeben, dazu müssen sie bestimmte Eigenschaften der Struktur haben. Dass sie so verbunden eine Tautologie ergeben, zeigt also, dass sie diese Eigenschaften der Struktur besitzen.
英1 The fact that the propositions of logic are tautologies shows the formal -- logical -- properties of language, of the world.
That its constituent parts connected together in this way give a tautology characterizes the logic of its constituent parts.
In order that propositions connected together in a definite way may give a tautology they must have definite properties of structure. That they give a tautology when so connected shows therefore that they possess these properties of structure.
英2 The fact that the propositions of logic are tautologies shows the formal—logical—properties of language and the world.
The fact that a tautology is yielded by this particular way of connecting its constituents characterizes the logic of its constituents.
If propositions are to yield a tautology when they are connected in a certain way, they must have certain structural properties. So their yielding a tautology when combined in this way shows that they possess these structural properties.
6.1201
独   Dass z.B. die Sätze »p« und »~p« in der Verbindung »~(p . ~p)« eine Tautologie ergeben, zeigt, dass sie einander widersprechen. Dass die Sätze »p q«, »p« und »q« in der Form »(pq) . (p) :⊃: (q)« miteinander verbunden eine Tautologie ergeben, zeigt, dass q aus p und p q folgt. Dass »(x) . fx :⊃: fa« eine Tautologie ist, dass fa aus (x) . fx folgt. Etc. etc.
英1 That e.g. the propositions "p" and "~p" in the connexion "~(p . ~p)" give a tautology shows that they contradict one another. That the propositions "p q", "p" and "q" connected together in the form "(pq) . (p) :⊃: (q)" give a tautology shows that q follows from p and p q. That "(x) . fx :⊃: fa" is a tautology shows that fa follows from (x) . fx, etc. etc.
英2 For example, the fact that the propositions ‘p’ and ‘~p’ in the combination ‘~(p.~p)’ yield a tautology shows that they contradict one another. The fact that the propositions ‘pq’, ‘p’, and ‘q’, combined with one another in the form ‘(pq).(p)::(q)’, yield a tautology shows that q follows from p and pq. The fact that ‘(x).fx::fa’ is a tautology shows that fa follows from (x).fx. Etc. etc.
6.1202
独   Es ist klar, dass man zu demselben Zweck statt der Tautologien auch die Kontradiktionen verwenden könnte.
英1 It is clear that we could have used for this purpose contradictions instead of tautologies.
英2 It is clear that one could achieve the same purpose by using contradictions instead of tautologies.
6.1203
独   Um eine Tautologie als solche zu erkennen, kann man sich, in den Fällen, in welchen in der Tautologie keine Allgemeinheitsbezeichnung vorkommt, folgender anschaulichen Methode bedienen: Ich schreibe statt »p«, »q«, »r« etc. »WpF«, »WqF«, »WrF« etc. Die Wahrheitskombinationen drücke ich durch Klammern aus, z.B.:

und die Zuordnung der Wahr- oder Falschheit des ganzen Satzes und der Wahrheitskombinationen der Wahrheitsargumente durch Striche auf folgende Weise:

Dies Zeichen würde also z. B. den Satz pq darstellen. Nun will ich z.B. den Satz ~(p . ~p) (Gesetz des Widerspruchs) daraufhin untersuchen, ob er eine Tautologie ist. Die Form »« wird in unserer Notation

geschrieben; die Form »ξ . η« so:

Daher lautet der Satz ~(p . ~q) so:

Setzen wir statt »q« »p« ein und untersuchen die Verbindung der äußersten W und F mit den innersten, so ergibt sich, dass die Wahrheit des ganzen Satzes allen Wahrheitskombinationen seines Argumentes, seine Falschheit keiner der Wahrheitskombinationen zugeordnet ist.
英1 In order to recognize a tautology as such, we can, in cases in which no sign of generality occurs in the tautology, make use of the following intuitive method: I write instead of "p", "q", "r, etc., "TpF", "TqF", "TrF", etc. The truth-combinations I express by brackets, e.g.:

and the co-ordination of the truth or falsity of the whole proposition with the truth-combinations of the truth-arguments by lines in the following way:
This sign, for example, would therefore present the proposition p q. Now I will proceed to inquire whether such a proposition as ~(p . ~p) (The Law of Contradiction) is a tautology. The form "" is written in our notation
the form "ξ . η" thus :--
Hence the proposition ~(p . ~q) runs thus :--
If here we put "p" instead of "q" and examine the combination of the outermost T and F with the innermost, it is seen that the truth of the whole proposition is co-ordinated with all the truth-combinations of its argument, its falsity with none of the truth-combinations.
英2 In order to recognize an expression as a tautology, in cases where no generality-sign occurs in it, one can employ the following intuitive method: instead of ‘p’, ‘q’, ‘r’, etc. I write ‘TpF’, ‘TqF’, ‘TrF’, etc. Truth-combinations I express by means of brackets, e.g.

and I use lines to express the correlation of the truth or falsity of the whole proposition with the truth-combinations of its truth-arguments, in the following way

So this sign, for instance, would represent the proposition pq. Now, by way of example, I wish to examine the proposition ~(p.~p) (the law of contradiction) in order to determine whether it is a tautology. In our notation the form ‘~ξ’ is written as

and the form ‘ξ.η’ as

Hence the proposition ~(p.~q) reads as follows

If we here substitute ‘p’ for ‘q’ and examine how the outermost T and F are connected with the innermost ones, the result will be that the truth of the whole proposition is correlated with all the truth-combinations of its argument, and its falsity with none of the truth-combinations.
6.121
独   Die Sätze der Logik demonstrieren die logischen Eigenschaften der Sätze, indem sie sie zu nichtssagenden Sätzen verbinden.
Diese Methode könnte man auch eine Nullmethode nennen. Im logischen Satz werden Sätze miteinander ins Gleichgewicht gebracht und der Zustand des Gleichgewichts zeigt dann an, wie diese Sätze logisch beschaffen sein müssen.
英1 The propositions of logic demonstrate the logical properties of propositions, by combining them into propositions which say nothing.
This method could be called a zero-method. In a logical proposition propositions are brought into equilibrium with one another, and the state of equilibrium then shows how these propositions must be logically constructed.
英2 The propositions of logic demonstrate the logical properties of propositions by combining them so as to form propositions that say nothing.
This method could also be called a zero-method. In a logical proposition, propositions are brought into equilibrium with one another, and the state of equilibrium then indicates what the logical constitution of these propositions must be.
6.122
独   Daraus ergibt sich, dass wir auch ohne die logischen Sätze auskommen können, da wir ja in einer entsprechenden Notation die formalen Eigenschaften der Sätze durch das bloße Ansehen dieser Sätze erkennen können.
英1 Whence it follows that we can get on without logical propositions, for we can recognize in an adequate notation the formal properties of the propositions by mere inspection.
英2 It follows from this that we can actually do without logical propositions; for in a suitable notation we can in fact recognize the formal properties of propositions by mere inspection of the propositions themselves.
6.1221
独   Ergeben z.B. zwei Sätze »p« und »q« in der Verbindung »p q« eine Tautologie, so ist klar, dass q aus p folgt.
Dass z.B. »q« aus »p q . p« folgt, ersehen wir aus diesen beiden Sätzen selbst, aber wir können es auch so zeigen, indem wir sie zu »p q . p :⊃: q« verbinden und nun zeigen, dass dies eine Tautologie ist.
英1 If for example two propositions "p" and "q" give a tautology in the connexion "p q", then it is clear that q follows from p.
E.g. that "q" follows from "p q . p" we see from these two propositions themselves, but we can also show it by combining them to "p q . p :⊃: q" and then showing that this is a tautology.
英2 If, for example, two propositions ‘p’ and ‘q’ in the combination ‘pq’ yield a tautology, then it is clear that q follows from p.
For example, we see from the two propositions themselves that ‘q’ follows from ‘pq.p’, but it is also possible to show it in this way: we combine them to form ‘pq.p::q’, and then show that this is a tautology.
6.1222
独   Dies wirft ein Licht auf die Frage, warum die logischen Sätze nicht durch die Erfahrung bestätigt werden können, ebensowenig wie sie durch die Erfahrung widerlegt werden können. Nicht nur muss ein Satz der Logik durch keine mögliche Erfahrung widerlegt werden können, sondern er darf auch nicht durch eine solche bestätigt werden können.
英1 This throws light on the question why logical propositions can no more be empirically confirmed than they can be empirically refuted. Not only must a proposition of logic be incapable of being contradicted by any possible experience, but it must also be incapable of being confirmed by any such.
英2 This throws some light on the question why logical propositions cannot be confirmed by experience any more than they can be refuted by it. Not only must a proposition of logic be irrefutable by any possible experience, but it must also be unconfirmable by any possible experience.
6.1223
独   Nun wird klar, warum man oft fühlte, als wären die »logischen Wahrheiten« von uns zu »fordern«: Wir können sie nämlich insofern fordern, als wir eine genügende Notation fordern können.
英1 It now becomes clear why we often feel as though "logical truths" must be "postulated" by us. We can in fact posulate them in so far as we can postulate an adequate notation.
英2 Now it becomes clear why people have often felt as if it were for us to ‘postulate’ the ‘truths of logic’. The reason is that we can postulate them in so far as we can postulate an adequate notation.
6.1224
独   Es wird jetzt auch klar, warum die Logik die Lehre von den Formen und vom Schließen genannt wurde.
英1 It also becomes clear why logic has been called the theory of forms and of inference.
英2 It also becomes clear now why logic was called the theory of forms and of inference.
6.123
独   Es ist klar: Die logischen Gesetze dürfen nicht selbst wieder logischen Gesetzen unterstehen.
(Es gibt nicht, wie Russell meinte, für jede »Type« ein eigenes Gesetz des Widerspruches, sondern Eines genügt, da es auf sich selbst nicht angewendet wird.)
英1 It is clear that the laws of logic cannot themselves obey further logical laws.
(There is not, as Russell supposed, for every "type" a special law of contradiction; but one is sufficient, since it is not applied to itself.)
英2 Clearly the laws of logic cannot in their turn be subject to laws of logic.
(There is not, as Russell thought, a special law of contradiction for each ‘type’; one law is enough, since it is not applied to itself.)
6.1231
独   Das Anzeichen des logischen Satzes ist nicht die Allgemeingültigkeit.
Allgemein sein heißt ja nur: zufälligerweise für alle Dinge gelten. Ein unverallgemeinerter Satz kann ja ebensowohl tautologisch sein als ein verallgemeinerter.
英1 The mark of logical propositions is not their general validity.
To be general is only to be accidentally valid for all things. An ungeneralized proposition can be tautologous just as well as a generalized one.
英2 The mark of a logical proposition is not general validity.
To be general means no more than to be accidentally valid for all things. An ungeneralized proposition can be tautological just as well as a generalized one.
6.1232
独   Die logische Allgemeingültigkeit könnte man wesentlich nennen, im Gegensatz zu jener zufälligen, etwa des Satzes: »Alle Menschen sind sterblich«. Sätze wie Russells »Axiom of Reducibility« sind nicht logische Sätze, und dies erklärt unser Gefühl: Dass sie, wenn wahr, so doch nur durch einen günstigen Zufall wahr sein könnten.
英1 Logical general validity, we could call essential as opposed to accidental general validity, e.g. of the proposition "all men are mortal". Propositions like Russell's "axiom of reducibility" are not logical propositions, and this explains our feeling that, if true, they can only be true by a happy chance.
英2 The general validity of logic might be called essential, in contrast with the accidental general validity of such propositions as ‘All men are mortal’. Propositions like Russell’s ‘axiom of reducibility’ are not logical propositions, and this explains our feeling that, even if they were true, their truth could only be the result of a fortunate accident.
6.1233
独   Es lässt sich eine Welt denken, in der das Axiom of Reducibility nicht gilt. Es ist aber klar, dass die Logik nichts mit der Frage zu schaffen hat, ob unsere Welt wirklich so ist oder nicht.
英1 We can imagine a world in which the axiom of reducibility is not valid. But it is clear that logic has nothing to do with the question whether our world is really of this kind or not.
英2 It is possible to imagine a world in which the axiom of reducibility is not valid. It is clear, however, that logic has nothing to do with the question whether our world really is like that or not.
6.124
独   Die logischen Sätze beschreiben das Gerüst der Welt, oder vielmehr, sie stellen es dar. Sie »handeln« von nichts. Sie setzen voraus, dass Namen Bedeutung, und Elementarsätze Sinn haben: Und dies ist ihre Verbindung mit der Welt. Es ist klar, dass es etwas über die Welt anzeigen muss, dass gewisse Verbindungen von Symbolen - welche wesentlich einen bestimmten Charakter haben - Tautologien sind. Hierin liegt das Entscheidende. Wir sagten, manches an den Symbolen, die wir gebrauchen, wäre willkürlich, manches nicht. In der Logik drückt nur dieses aus: Das heißt aber, in der Logik drücken nicht wir mit Hilfe der Zeichen aus, was wir wollen, sondern in der Logik sagt die Natur der naturnotwendigen Zeichen selbst aus: Wenn wir die logische Syntax irgendeiner Zeichensprache kennen, dann sind bereits alle Sätze der Logik gegeben.
英1 The logical propositions describe the scaffolding of the world, or rather they present it. They "treat" of nothing. They presuppose that names have meaning, and that elementary propositions have sense. And this is their connexion with the world. It is clear that it must show something about the world that certain combinations of symbols -- which essentially have a definite character -- are tautologies. Herein lies the decisive point. We said that in the symbols which we use something is arbitrary, something not. In logic only this expresses: but this means that in logic it is not we who express, by means of signs, what we want, but in logic the nature of the essentially necessary signs itself asserts. That is to say, if we know the logical syntax of any sign language, then all the propositions of logic are already given.
英2 The propositions of logic describe the scaffolding of the world, or rather they represent it. They have no ‘subject-matter’. They presuppose that names have meaning and elementary propositions sense; and that is their connexion with the world. It is clear that something about the world must be indicated by the fact that certain combinations of symbols—whose essence involves the possession of a determinate character—are tautologies. This contains the decisive point. We have said that some things are arbitrary in the symbols that we use and that some things are not. In logic it is only the latter that express: but that means that logic is not a field in which we express what we wish with the help of signs, but rather one in which the nature of the natural and inevitable signs speaks for itself. If we know the logical syntax of any sign-language, then we have already been given all the propositions of logic.
6.125
独   Es ist möglich, und zwar auch nach der alten Auffassung der Logik, von vornherein eine Beschreibung aller »wahren« logischen Sätze zu geben.
英1 It is possible, also with the old conception of logic, to give at the outset a description of all "true" logical propositions.
英2 It is possible—indeed possible even according to the old conception of logic—to give in advance a description of all ‘true’ logical propositions.
6.1251
独   Darum kann es in der Logik auch nie Überraschungen geben.
英1 Hence there can never be surprises in logic.
英2 Hence there can never be surprises in logic.
6.126
独   Ob ein Satz der Logik angehört, kann man berechnen, indem man die logischen Eigenschaften des Symbols berechnet.
Und dies tun wir, wenn wir einen logischen Satz »beweisen«. Denn, ohne uns um einen Sinn und eine Bedeutung zu kümmern, bilden wir den logischen Satz aus anderen nach bloßen Zeichenregeln.
Der Beweis der logischen Sätze besteht darin, dass wir sie aus anderen logischen Sätzen durch successive Anwendung gewisser Operationen entstehen lassen, die aus den ersten immer wieder Tautologien erzeugen. (Und zwar folgen aus einer Tautologie nur Tautologien.)
Natürlich ist diese Art zu zeigen, dass ihre Sätze Tautologien sind, der Logik durchaus unwesentlich. Schon darum, weil die Sätze, von welchen der Beweis ausgeht, ja ohne Beweis zeigen müssen, dass sie Tautologien sind.
英1 Whether a proposition belongs to logic can be calculated by calculating the logical properties of the symbol.
And this we do when we prove a logical proposition. For without troubling ourselves about a sense and a meaning, we form the logical propositions out of others by mere symbolic rules.
We prove a logical proposition by creating it out of other logical propositions by applying in succession certain operations, which again generate tautologies out of the first. (And from a tautology only tautologies follow.)
Naturally this way of showing that its propositions are tautologies is quite unessential to logic. Because the propositions, from which the proof starts, must show without proof that they are tautologies.
英2 One can calculate whether a proposition belongs to logic, by calculating the logical properties of the symbol.
And this is what we do when we ‘prove’ a logical proposition. For, without bothering about sense or meaning, we construct the logical proposition out of others using only rules that deal with signs.
The proof of logical propositions consists in the following process: we produce them out of other logical propositions by successively applying certain operations that always generate further tautologies out of the initial ones. (And in fact only tautologies follow from a tautology.)
Of course this way of showing that the propositions of logic are tautologies is not at all essential to logic, if only because the propositions from which the proof starts must show without any proof that they are tautologies.
6.1261
独   In der Logik sind Prozess und Resultat äquivalent. (Darum keine Überraschung.)
英1 In logic process and result are equivalent. (Therefore no surprises.)
英2 In logic process and result are equivalent. (Hence the absence of surprise.)
6.1262
独   Der Beweis in der Logik ist nur ein mechanisches Hilfsmittel zum leichteren Erkennen der Tautologie, wo sie kompliziert ist.
英1 Proof in logic is only a mechanical expedient to facilitate the recognition of tautology, where it is complicated.
英2 Proof in logic is merely a mechanical expedient to facilitate the recognition of tautologies in complicated cases.
6.1263
独   Es wäre ja auch zu merkwürdig, wenn man einen sinnvollen Satz logisch aus anderen beweisen könnte, und einen logischen Satz auch. Es ist von vornherein klar, dass der logische Beweis eines sinnvollen Satzes und der Beweis in der Logik zwei ganz verschiedene Dinge sein müssen.
英1 It would be too remarkable, if one could prove a significant proposition logically from another, and a logical proposition also. It is clear from the beginning that the logical proof of a significant proposition and the proof in logic must be two quite different things.
英2 Indeed, it would be altogether too remarkable if a proposition that had sense could be proved logically from others, and so too could a logical proposition. It is clear from the start that a logical proof of a proposition that has sense and a proof in logic must be two entirely different things.
6.1264
独   Der sinnvolle Satz sagt etwas aus, und sein Beweis zeigt, dass es so ist; in der Logik ist jeder Satz die Form eines Beweises.
Jeder Satz der Logik ist ein in Zeichen dargestellter modus ponens. (Und den modus ponens kann man nicht durch einen Satz ausdrücken.)
英1 The significant proposition asserts something, and its proof shows that it is so; in logic every proposition is the form of a proof.
Every proposition of logic is a modus ponens present in signs. (And the modus ponens can not be expressed by a proposition.)
英2 A proposition that has sense states something, which is shown by its proof to be so. In logic every proposition is the form of a proof.
Every proposition of logic is a modus ponens represented in signs. (And one cannot express the modus ponens by means of a proposition.)
6.1265
独   Immer kann man die Logik so auffassen, dass jeder Satz sein eigener Beweis ist.
英1 Logic can always be conceived to be such that every proposition is its own proof.
英2 It is always possible to construe logic in such a way that every proposition is its own proof.
6.127
独   Alle Sätze der Logik sind gleichberechtigt, es gibt unter ihnen nicht wesentlich Grundgesetze und abgeleitete Sätze.
Jede Tautologie zeigt selbst, dass sie eine Tautologie ist.
英1 All propositions of logic are of equal rank; there are not some which are essentially primitive and others deduced from there.
Every tautology itself shows that it is a tautology.
英2 All the propositions of logic are of equal status: it is not the case that some of them are essentially derived propositions.
Every tautology itself shows that it is a tautology.
6.1271
独   Es ist klar, dass die Anzahl der »logischen Grundgesetze« willkürlich ist, denn man könnte die Logik ja aus Einem Grundgesetz ableiten, indem man einfach z.B. aus Freges Grundgesetzen das logische Produkt bildet. (Frege würde vielleicht sagen, dass dieses Grundgesetz nun nicht mehr unmittelbar einleuchte. Aber es ist merkwürdig, dass ein so exakter Denker wie Frege sich auf den Grad des Einleuchtens als Kriterium des logischen Satzes berufen hat.)
英1 It is clear that the number of "primitive propositions of logic" is arbitrary, for we could deduce logic from one primitive proposition by simply forming, for example, the logical produce of Frege's primitive propositions. (Frege would perhaps say that this would no longer be immediately self-evident. But it is remarkable that so exact a thinker as Frege should have appealed to the degree of self-evidence as the criterion of a logical proposition.)
英2 It is clear that the number of the ‘primitive propositions of logic’ is arbitrary, since one could derive logic from a single primitive proposition, e.g. by simply constructing the logical product of Frege’s primitive propositions. (Frege would perhaps say that we should then no longer have an immediately self-evident primitive proposition. But it is remarkable that a thinker as rigorous as Frege appealed to the degree of self-evidence as the criterion of a logical proposition.)
6.13
独   Die Logik ist keine Lehre, sondern ein Spiegelbild der Welt.
Die Logik ist transzendental.
英1 Logic is not a theory but a reflexion of the world.
Logic is transcendental.
英2 Logic is not a body of doctrine, but a mirror-image of the world.
Logic is transcendental.
6.2
独   Die Mathematik ist eine logische Methode.
Die Sätze der Mathematik sind Gleichungen, also Scheinsätze.
英1 Mathematics is a logical method.
The propositions of mathematics are equations, and therefore pseudo-propositions.
英2 Mathematics is a logical method.
The propositions of mathematics are equations, and therefore pseudo-propositions.
6.21
独   Der Satz der Mathematik drückt keinen Gedanken aus.
英1 Mathematical propositions express no thoughts.
英2 A proposition of mathematics does not express a thought.
6.211
独   Im Leben ist es ja nie der mathematische Satz, den wir brauchen, sondern wir benützen den mathematischen Satz nur, um aus Sätzen, welche nicht der Mathematik angehören, auf andere zu schließen, welche gleichfalls nicht der Mathematik angehören.
(In der Philosophie führt die Frage: »Wozu gebrauchen wir eigentlich jenes Wort, jenen Satz?« immer wieder zu wertvollen Einsichten.)
英1 In life it is never a mathematical proposition which we need, but we use mathematical propositions only in order to infer from propositions which do not belong to mathematics to others which equally do not belong to mathematics.
In philosophy the question is "Why do we really use that word, that proposition?" constantly leads to valuable results.)
英2 Indeed in real life a mathematical proposition is never what we want. Rather, we make use of mathematical propositions only in inferences from propositions that do not belong to mathematics to others that likewise do not belong to mathematics.
(In philosophy the question, ‘What do we actually use this word or this proposition for?’ repeatedly leads to valuable insights.)
6.22
独   Die Logik der Welt, die die Sätze der Logik in den Tautologien zeigen, zeigt die Mathematik in den Gleichungen.
英1 The logic of the world which the propositions of logic show in tautologies, mathematics shows in equations.
英2 The logic of the world, which is shown in tautologies by the propositions of logic, is shown in equations by mathematics.
6.23
独   Wenn zwei Ausdrücke durch das Gleichheitszeichen verbunden werden, so heißt das, sie sind durch einander ersetzbar. Ob dies aber der Fall ist, muss sich an den beiden Ausdrücken selbst zeigen.
Es charakterisiert die logische Form zweier Ausdrücke, dass sie durch einander ersetzbar sind.
英1 If two expressions are connected by the sign of equality, this means that they can be substituted for one another. But whether this is the case must show itself in the two expressions themselves.
It characterizes the logical form of two expressions, that they can be substituted for one another.
英2 If two expressions are combined by means of the sign of equality, that means that they can be substituted for one another. But it must be manifest in the two expressions themselves whether this is the case or not.
When two expressions can be substituted for one another, that characterizes their logical form.
6.231
独   Es ist eine Eigenschaft der Bejahung, dass man sie als doppelte Verneinung auffassen kann.
Es ist eine Eigenschaft von »1+1+1+1«, dass man es als »(1+1)+(1+1)« auffassen kann.
英1 It is a property of affirmation that it can be conceived as double denial.
It is a property of "1+1+1=1" that it can be conceived as "(1+1)+(1+1)".
英2 It is a property of affirmation that it can be construed as double negation.
It is a property of ‘1+1+1+1’ that it can be construed as ‘(1+1)+(1+1)’.
6.232
独   Frege sagt, die beiden Ausdrücke haben dieselbe Bedeutung, aber verschiedenen Sinn.
Das Wesentliche an der Gleichung ist aber, dass sie nicht notwendig ist, um zu zeigen, dass die beiden Ausdrücke, die das Gleichheitszeichen verbindet, dieselbe Bedeutung haben, da sich dies aus den beiden Ausdrücken selbst ersehen lässt.
英1 Frege says that these expressions have the same meaning but different senses.
But what is essential about equation is that it is not necessary in order to show that both expressions, which are connected by the sign of equality, have the same meaning: for this can be perceived from the two expressions themselves.
英2 Frege says that the two expressions have the same meaning but different senses.
But the essential point about an equation is that it is not necessary in order to show that the two expressions connected by the sign of equality have the same meaning, since this can be seen from the two expressions themselves.
6.2321
独   Und, dass die Sätze der Mathematik bewiesen werden können, heißt ja nichts anderes, als dass ihre Richtigkeit einzusehen ist, ohne dass das, was sie ausdrücken, selbst mit den Tatsachen auf seine Richtigkeit hin verglichen werden muss.
英1 And, that the propositions of mathematics can be proved means nothing else than that their correctness can be seen without our having to compare what they express with the facts as regards correctness.
英2 And the possibility of proving the propositions of mathematics means simply that their correctness can be perceived without its being necessary that what they express should itself be compared with the facts in order to determine its correctness.
6.2322
独   Die Identität der Bedeutung zweier Ausdrücke lässt sich nicht behaupten. Denn, um etwas von ihrer Bedeutung behaupten zu können, muss ich ihre Bedeutung kennen: und indem ich ihre Bedeutung kenne, weiß ich, ob sie dasselbe oder verschiedenes bedeuten.
英1 The identity of the meaning of two expressions cannot be asserted. For in order to be able to assert anything about their meaning, I must know their meaning, and if I know their meaning, I know whether they mean the same or something different.
英2 It is impossible to assert the identity of meaning of two expressions. For in order to be able to assert anything about their meaning, I must know their meaning, and I cannot know their meaning without knowing whether what they mean is the same or different.
6.2323
独   Die Gleichung kennzeichnet nur den Standpunkt, von welchem ich die beiden Ausdrücke betrachte, nämlich vom Standpunkte ihrer Bedeutungsgleichheit.
英1 The equation characterizes only the standpoint from which I consider the two expressions, that is to say from the standpoint of their equality of meaning.
英2 An equation merely marks the point of view from which I consider the two expressions: it marks their equivalence in meaning.
6.233
独   Die Frage, ob man zur Lösung der mathematischen Probleme die Anschauung brauche, muss dahin beantwortet werden, dass eben die Sprache hier die nötige Anschauung liefert.
英1 To the question whether we need intuition for the solution of mathematical problems it must be answered that language itself here supplies the necessary intuition.
英2 The question whether intuition is needed for the solution of mathematical problems must be given the answer that in this case language itself provides the necessary intuition.
6.2331
独   Der Vorgang des Rechnens vermittelt eben diese Anschauung.
Die Rechnung ist kein Experiment.
英1 The process of calculation brings about just this intuition.
Calculation is not an experiment.
英2 The process of calculating serves to bring about that intuition.
Calculation is not an experiment.
6.234
独   Die Mathematik ist eine Methode der Logik.
英1 Mathematics is a method of logic.
英2 Mathematics is a method of logic.
6.2341
独   Das Wesentliche der mathematischen Methode ist es, mit Gleichungen zu arbeiten. Auf dieser Methode beruht es nämlich, dass jeder Satz der Mathematik sich von selbst verstehen muss.
英1 The essential of mathematical method is working with equations. On this method depends the fact that every proposition of mathematics must be self-evident.
英2 It is the essential characteristic of mathematical method that it employs equations. For it is because of this method that every proposition of mathematics must go without saying.
6.24
独   Die Methode der Mathematik, zu ihren Gleichungen zu kommen, ist die Substitutionsmethode.
Denn die Gleichungen drücken die Ersetzbarkeit zweier Ausdrücke aus, und wir schreiten von einer Anzahl von Gleichungen zu neuen Gleichungen vor, indem wir, den Gleichungen entsprechend, Ausdrücke durch andere ersetzen.
英1 The method by which mathematics arrives at its equations is the method of substitution.
For equations express the substitutability of two expressions, and we proceed from a number of equations to new equations, replacing expressions by others in accordance with the equations.
英2 The method by which mathematics arrives at its equations is the method of substitution.
For equations express the substitutability of two expressions and, starting from a number of equations, we advance to new equations by substituting different expressions in accordance with the equations.
6.241
独   So lautet der Beweis des Satzes 2 x 2 = 4:
ν)μ'x = Ων x μ'x Def.,
Ω2x2'x = (Ω2)2'x = (Ω2)1+1'x = Ω22'x
= Ω1+11+1'x = (Ω'Ω)'(Ω'Ω)'x
= Ω'Ω'Ω'Ω'x = Ω1+1+1+1'x = Ω4'x.
英1 Thus the proof of the proposition 2 x 2 = 4 runs:
ν)μ'x = Ων x μ'x Def.
Ω2x2'x = (Ω2)2'x = (Ω2)1+1'x = Ω22'x
            = Ω1+11+1'x = (Ω'Ω)'(Ω'Ω)'x
            = Ω'Ω'Ω'Ω'x = Ω1+1+1+1'x = Ω4'x.
英2 Thus the proof of the proposition 2×2=4 runs as follows:
ν)μx=Ων×μx Def.
Ω2×2x=2)2x=2)1+1x=Ω2Ω2x
= Ω1+1Ω1+1x=(Ω’Ω)’(Ω’Ω)’x
= Ω’Ω’Ω’Ω’x=Ω1+1+1+1x=Ω4x.
6.3
独   Die Erforschung der Logik bedeutet die Erforschung aller Gesetzmäßigkeit. Und außerhalb der Logik ist alles Zufall.
英1 Logical research means the investigation of all regularity. And outside logic all is accident.
英2 The exploration of logic means the exploration of everything that is subject to law. And outside logic everything is accidental.
6.31
独   Das sogenannte Gesetz der Induktion kann jedenfalls kein logisches Gesetz sein, denn es ist offenbar ein sinnvoller Satz. - Und darum kann es auch kein Gesetz a priori sein.
英1 The so-called law of induction cannot in any case be a logical law, for it is obviously a significant propositions. -- And therefore it cannot be a law a priori either.
英2 The so-called law of induction cannot possibly be a law of logic, since it is obviously a proposition with sense.—Nor, therefore, can it be an a priori law.
6.32
独   Das Kausalitätsgesetz ist kein Gesetz, sondern die Form eines Gesetzes.
英1 The law of causality is not a law but the form of a law.
英2 The law of causality is not a law but the form of a law.
6.321
独   »Kausalitätsgesetz«, das ist ein Gattungsname. Und wie es in der Mechanik, sagen wir, Minimum-Gesetze gibt - etwa der kleinsten Wirkung -, so gibt es in der Physik Kausalitätsgesetze, Gesetze von der Kausalitätsform.
英1 "Law of Causality" is a class name. And as in mechanics there are, for instance, minimum-laws, such as that of least actions, so in physics there are causal laws, laws of the causality form.
英2 ‘Law of causality’—that is a general name. And just as in mechanics, for example, there are ‘minimum-principles’, such as the law of least action, so too in physics there are causal laws, laws of the causal form.
6.3211
独   Man hat ja auch davon eine Ahnung gehabt, dass es ein »Gesetz der kleinsten Wirkung« geben müsse, ehe man genau wusste, wie es lautete. (Hier, wie immer, stellt sich das a priori Gewisse als etwas rein Logisches heraus.)
英1 Men had indeed an idea that there must be a "law of least action", before they knew exactly how it ran. (Here, as always, the a priori certain proves to be something purely logical.)
英2 Indeed people even surmised that there must be a ‘law of least action’ before they knew exactly how it went. (Here, as always, what is certain a priori proves to be something purely logical.)
6.33
独   Wir glauben nicht a priori an ein Erhaltungsgesetz, sondern wir wissen a priori die Möglichkeit einer logischen Form.
英1 We do not believe a priori in a law of conservation, but we know a priori the possibility of a logical form.
英2 We do not have an a priori belief in a law of conservation, but rather a priori knowledge of the possibility of a logical form.
6.34
独   Alle jene Sätze, wie der Satz vom Grunde, von der Kontinuität in der Natur, vom kleinsten Aufwande in der Natur etc. etc., alle diese sind Einsichten a priori über die mögliche Formgebung der Sätze der Wissenschaft.
英1 All propositions, such as the law of causation, the law of continuity in nature, the law of least expenditure in nature, etc. etc., all these are a priori intuitions of possible forms of the propositions of science,
英2 All such propositions, including the principle of sufficient reason, the laws of continuity in nature and of least effort in nature, etc. etc.—all these are a priori insights about the forms in which the propositions of science can be cast.
6.341
独   Die Newtonsche Mechanik z.B. bringt die Weltbeschreibung auf eine einheitliche Form. Denken wir uns eine weiße Fläche, auf der unregelmäßige schwarze Flecken wären. Wir sagen nun: Was für ein Bild immer hierdurch entsteht, immer kann ich seiner Beschreibung beliebig nahe kommen, indem ich die Fläche mit einem entsprechend feinen quadratischen Netzwerk bedecke und nun von jedem Quadrat sage, dass es weiß oder schwarz ist. Ich werde auf diese Weise die Beschreibung der Fläche auf eine einheitliche Form gebracht haben. Diese Form ist beliebig, denn ich hätte mit dem gleichen Erfolge ein Netz aus dreieckigen oder sechseckigen Maschen verwenden können. Es kann sein, dass die Beschreibung mit Hilfe eines Dreiecks-Netzes einfacher geworden wäre; das heißt, dass wir die Fläche mit einem gröberen Dreiecks-Netz genauer beschreiben könnten als mit einem femeren quadratischen (oder umgekehrt) usw. Den verschiedenen Netzen entsprechen verschiedene Systeme der Weltbeschreibung. Die Mechanik bestimmt eine Form der Weltbeschreibung, indem sie sagt: Alle Sätze der Weltbeschreibung müssen aus einer Anzahl gegebener Sätze - den mechanischen Axiomen - auf eine gegebene Art und Weise erhalten werden. Hierdurch liefert sie die Bausteine zum Bau des wissenschaftlichen Gebäudes und sagt: Welches Gebäude immer du aufführen willst, jedes musst du irgendwie mit diesen und nur diesen Bausteinen zusammenbringen.
(Wie man mit dem Zahlensystem jede beliebige Anzahl, so muss man mit dem System der Mechanik jeden beliebigen Satz der Physik hinschreiben können.)
英1 Newtonian mechanics, for example, brings the description of the universe to a unified form. Let us imagine a white surface with irregular black spots. We now say: Whatever kind of picture these make I can always get as near as I like to its description, if I cover the surface with a sufficiently fine square network and now say of every square that it is white or black. In this way I shall have bought the description of the surface to a unified form. This form is arbitrary, because I could have applied with equal success a net with a triangular or hexagonal mesh. It can happen that the description would have been simpler with the aid of a triangular mesh; that is to say we might have described the surface more accurately with a triangular, and coarser, than with the finer square mesh, or vice versa, and so on. To the different networks correspond different systems of describing the world. Mechanics determine a form of description by saying: All propositions in the description of the world must be obtained in a given way from a number of given propositions -- the mechanical axioms. It thus provides the bricks for building the edifice of science, and says: Whatever building thou wouldst erect, thou shalt construct it in some manner with these bricks and these alone.
(As with the system of numbers one must be able to write down any arbitrary number, so with the system of mechanics one must be able to write down any arbitrary physical proposition.)
英2 Newtonian mechanics, for example, imposes a unified form on the description of the world. Let us imagine a white surface with irregular black spots on it. We then say that whatever kind of picture these make, I can always approximate as closely as I wish to the description of it by covering the surface with a sufficiently fine square mesh, and then saying of every square whether it is black or white. In this way I shall have imposed a unified form on the description of the surface. The form is optional, since I could have achieved the same result by using a net with a triangular or hexagonal mesh. Possibly the use of a triangular mesh would have made the description simpler: that is to say, it might be that we could describe the surface more accurately with a coarse triangular mesh than with a fine square mesh (or conversely), and so on. The different nets correspond to different systems for describing the world. Mechanics determines one form of description of the world by saying that all propositions used in the description of the world must be obtained in a given way from a given set of propositions—the axioms of mechanics. It thus supplies the bricks for building the edifice of science, and it says, ‘Any building that you want to erect, whatever it may be, must somehow be constructed with these bricks, and with these alone.’
(Just as with the number-system we must be able to write down any number we wish, so with the system of mechanics we must be able to write down any proposition of physics that we wish.)
6.342
独   Und nun sehen wir die gegenseitige Stellung von Logik und Mechanik. (Man könnte das Netz auch aus verschiedenartigen Figuren etwa aus Dreiecken und Sechsecken bestehen lassen.) Dass sich ein Bild, wie das vorhin erwähnte, durch ein Netz von gegebener Form beschreiben lässt, sagt über das Bild nichts aus. (Denn dies gilt für jedes Bild dieser Art.) Das aber charakterisiert das Bild, dass es sich durch ein bestimmtes Netz von bestimmter Feinheit vollständig beschreiben lässt.
So auch sagt es nichts über die Welt aus, dass sie sich durch die Newtonsche Mechanik beschreiben lässt; wohl aber, dass sie sich so durch jene beschreiben lässt, wie dies eben der Fall ist. Auch das sagt etwas über die Welt, dass sie sich durch die eine Mechanik einfacher beschreiben lässt als durch die andere.
英1 And now we see the relative position of logic and mechanics. (We could construct the network out of figures of different kinds, as out of triangles and hexagons together.) That a picture like that instanced above can be described by a network of a given form asserts nothing about the picture. (for this holds of every picture of this kind.) But this does characterize the picture, the fact, namely, that it can be completely described by a definite net of definite fineness.
So too the fact that it can be described by Newtonian mechanics asserts nothing about the world; but this asserts something, namely, that it can be described in that particular way in which as a matter of fact it is described. the fact, too, that it can be described more simply by one system of mechanics than by another says something about the world.
英2 And now we can see the relative position of logic and mechanics. (The net might also consist of more than one kind of mesh: e.g. we could use both triangles and hexagons.) The possibility of describing a picture like the one mentioned above with a net of a given form tells us nothing about the picture. (For that is true of all such pictures.) But what does characterize the picture is that it can be described completely by a particular net with a particular size of mesh.
Similarly the possibility of describing the world by means of Newtonian mechanics tells us nothing about the world: but what does tell us something about it is the precise way in which it is possible to describe it by these means. We are also told something about the world by the fact that it can be described more simply with one system of mechanics than with another.
6.343
独   Die Mechanik ist ein Versuch, alle wahren Sätze, die wir zur Weltbeschreibung brauchen, nach Einem Plane zu konstruieren.
英1 Mechanics is an attempt to construct according to a single plan all true propositions which we need for the description of the world.
英2 Mechanics is an attempt to construct according to a single plan all the true propositions that we need for the description of the world.
6.3431
独   Durch den ganzen logischen Apparat hindurch sprechen die physikalischen Gesetze doch von den Gegenständen der Welt.
英1 Through their whole logical apparatus the physical laws still speak of the objects of the world.
英2 The laws of physics, with all their logical apparatus, still speak, however indirectly, about the objects of the world.
6.3432
独   Wir dürfen nicht vergessen, dass die Weltbeschreibung durch die Mechanik immer die ganz allgemeine ist. Es ist in ihr z.B. nie von bestimmten materiellen Punkten die Rede, sondern immer nur von irgendwelchen.
英1 We must not forget that the description of the world by mechanics is always quite general. There is, for example, never any mention of particular material points in it, but always only of some points or other.
英2 We ought not to forget that any description of the world by means of mechanics will be of the completely general kind. For example, it will never mention particular point-masses: it will only talk about any point-masses whatsoever.
6.35
独   Obwohl die Flecke in unserem Bild geometrische Figuren sind, so kann doch selbstverständlich die Geometrie gar nichts über ihre tatsächliche Form und Lage sagen. Das Netz aber ist rein geometrisch, alle seine Eigenschaften können a priori angegeben werden.
Gesetze wie der Satz vom Grunde, etc. handeln vom Netz, nicht von dem, was das Netz beschreibt.
英1 Although the spots in our picture are geometrical figures, geometry can obviously say nothing about their actual form and position. But the network is purely geometrical, and all its properties can be given a priori.
Laws, like the law of causation, etc., treat of the network and not what the network describes.
英2 Although the spots in our picture are geometrical figures, nevertheless geometry can obviously say nothing at all about their actual form and position. The network, however, is purely geometrical; all its properties can be given a priori.
Laws like the principle of sufficient reason, etc. are about the net and not about what the net describes.
6.36
独   Wenn es ein Kausalitätsgesetz gäbe, so könnte es lauten: »Es gibt Naturgesetze«.
Aber freilich kann man das nicht sagen: es zeigt sich.
英1 If there were a law of causality, it might run: "There are natural laws".
But that can clearly not be said: it shows itself.
英2 If there were a law of causality, it might be put in the following way: There are laws of nature.
But of course that cannot be said: it makes itself manifest.
6.361
独   In der Ausdrucksweise Hertz´ könnte man sagen: Nur gesetzmäßige Zusammenhänge sind denkbar.
英1 In ther terminology of Hertz we might say: Only uniform connections are thinkable.
英2 One might say, using Hertz’s terminology, that only connexions that are subject to law are thinkable.
6.3611
独   Wir können keinen Vorgang mit dem »Ablauf der Zeit« vergleichen - diesen gibt es nicht -, sondern nur mit einem anderen Vorgang (etwa mit dem Gang des Chronometers).
Daher ist die Beschreibung des zeitlichen Verlaufs nur so möglich, dass wir uns auf einen anderen Vorgang stützen.
Ganz Analoges gilt für den Raum. Wo man z.B. sagt, es könne keines von zwei Ereignissen (die sich gegenseitig ausschließen) eintreten, weil keine Ursache vorhanden sei, warum das eine eher als das andere eintreten solle, da handelt es sich in Wirklichkeit darum, dass man gar nicht eines der beiden Ereignisse beschreiben kann, wenn nicht irgendeine Asymmetrie vorhanden ist. Und wenn eine solche Asymmetrie vorhanden ist, so können wir diese als Ursache des Eintreffens des einen und Nicht- Eintreffens des anderen auffassen.
英1 We cannot compare any process with the "passage of time" -- there is no such thing -- but only with another process (say, with the movement of the chonometer).
Hence the description of the temporal sequence of events is only possible if we support ourselves on another process.
It is exactly analogous for space. When, for example, we say that neither of two events (which mutually exclude one another) can occur, because there is no cause why the one should occur rather than the other, it is really a matter of our being unable to descibe one of the two events unless there is some sort of asymmetry. And if there is such an asymmetry, we can regard this as the cause of the occurrence of the one and of the non-occurrence of the other.
英2 We cannot compare a process with ‘the passage of time’—there is no such thing—but only with another process (such as the working of a chronometer).
Hence we can describe the lapse of time only by relying on some other process.
Something exactly analogous applies to space: e.g. when people say that neither of two events (which exclude one another) can occur, because there is nothing to cause the one to occur rather than the other, it is really a matter of our being unable to describe one of the two events unless there is some sort of asymmetry to be found. And if such an asymmetry is to be found, we can regard it as the cause of the occurrence of the one and the non-occurrence of the other.
6.36111
独   Das Kantsche Problem von der rechten und linken Hand, die man nicht zur Deckung bringen kann, besteht schon in der Ebene, ja im eindimensionalen Raum, wo die beiden kongruenten Figuren a und a auch nicht zur Deckung gebracht werden können, ohne aus diesem Raum
– – – ○———— – – ————○ – – –
a                           b
herausbewegt zu werden. Rechte und linke Hand sind tatsächlich vollkommen kongruent. Und dass man sie nicht zur Deckung bringen kann, hat damit nichts zu tun.
Den rechten Handschuh könnte man an die linke Hand ziehen, wenn man ihn im vierdimensionalen Raum umdrehen könnte.
英1 The Kantian problem of the right and left hand which cannot be made to cover one another already exists in the plane, and even in one-dimensional space; where the two congruent figures a and b cannot be made to cover one another without
– – – ○———— – – ————○ – – –
a                           b
moving them out of this space. The right and left hand are in fact completely congruent. And the fact that they cannot be made to cover one another has nothing to do with it.
A right-hand glove could be put on a left hand if it could be turned round in four-dimensional space.
英2 Kant’s problem about the right hand and the left hand, which cannot be made to coincide, exists even in two dimensions. Indeed, it exists in one-dimensional space
– – – ———— – – ———— – – –
a                             b

in which the two congruent figures, a and b, cannot be made to coincide unless they are moved out of this space. The right hand and the left hand are in fact completely congruent. It is quite irrelevant that they cannot be made to coincide.
A right-hand glove could be put on the left hand, if it could be turned round in four-dimensional space.
6.362
独   Was sich beschreiben lässt, das kann auch geschehen, und was das Kausalitätsgesetz ausschließen soll, das lässt sich auch nicht beschreiben.
英1 What can be described can happen too, and what is excluded by the law of causality cannot be described.
英2 What can be described can happen too: and what the law of causality is meant to exclude cannot even be described.
6.363
独   Der Vorgang der Induktion besteht darin, dass wir das einfachste Gesetz annehmen, das mit unseren Erfahrungen in Einklang zu bringen ist.
英1 The process of induction is the process of assuming the simplest law that can be made to harmonize with our experience.
英2 The procedure of induction consists in accepting as true the simplest law that can be reconciled with our experiences.
6.3631
独   Dieser Vorgang hat aber keine logische, sondern nur eine psychologische Begründung.
Es ist klar, dass kein Grund vorhanden ist, zu glauben, es werde nun auch wirklich der einfachste Fall eintreten.
英1 This process, however, has no logical foundation but only a psychological one.
It is clear that there are no grounds for believing that the simplest course of events will really happen.
英2 This procedure, however, has no logical justification but only a psychological one.
It is clear that there are no grounds for believing that the simplest eventuality will in fact be realized.
6.36311
独   Dass die Sonne morgen aufgehen wird, ist eine Hypothese; und das heißt: wir wissen nicht, ob sie aufgehen wird.
英1 That the sun will rise to-morrow, is an hypothesis; and that means that we do not know whether it will rise.
英2 It is an hypothesis that the sun will rise tomorrow: and this means that we do not know whether it will rise.
6.37
独   Einen Zwang, nach dem Eines geschehen müsste, weil etwas anderes geschehen ist, gibt es nicht. Es gibt nur eine logische Notwendigkeit.
英1 A necessity for one thing to happen because another has happened does not exist. There is only logical necessity.
英2 There is no compulsion making one thing happen because another has happened. The only necessity that exists is logical necessity
6.371
独   Der ganzen modernen Weltanschauung liegt die Täuschung zugrunde, dass die sogenannten Naturgesetze die Erklärungen der Naturerscheinungen seien.
英1 At the basis of the whole modern view of the world lies the illusion that the so-called laws of nature are the explanations of natural phenomena.
英2 The whole modern conception of the world is founded on the illusion that the so-called laws of nature are the explanations of natural phenomena.
6.372
独   So bleiben sie bei den Naturgesetzen als bei etwas Unantastbarem stehen, wie die Älteren bei Gott und dem Schicksal.
Und sie haben ja beide Recht, und Unrecht. Die Alten sind allerdings insofern klarer, als sie einen klaren Abschluss anerkennen, während es bei dem neuen System scheinen soll, als sei alles erklärt.
英1 So people stop short at natural laws as something unassailable, as did the ancients at God and Fate.
And they are both right and wrong. but the ancients were clearer, in so far as they recognized one clear terminus, whereas the modern system makes it appear as though everything were explained.
英2 Thus people today stop at the laws of nature, treating them as something inviolable, just as God and Fate were treated in past ages.
And in fact both are right and both wrong: though the view of the ancients is clearer in so far as they have a clear and acknowledged terminus, while the modern system tries to make it look as if everything were explained.
6.373
独   Die Welt ist unabhängig von meinem Willen.
英1 The world is independent of my will.
英2 The world is independent of my will.
6.374
独   Auch wenn alles, was wir wünschen, geschähe, so wäre dies doch nur, sozusagen, eine Gnade des Schicksals, denn es ist kein logischer Zusammenhang zwischen Willen und Welt, der dies verbürgte, und den angenommenen physikalischen Zusammenhang könnten wir doch nicht selbst wieder wollen.
英1 Even if everything we wished were to happen, this would only be, so to speak, a favour of fate, for there is no logical connexion between will and world, which would guarantee this, and the assumed physical connexion itself we could not against will.
英2 Even if all that we wish for were to happen, still this would only be a favour granted by fate, so to speak: for there is no logical connexion between the will and the world, which would guarantee it, and the supposed physical connexion itself is surely not something that we could will.
6.375
独   Wie es nur eine logische Notwendigkeit gibt, so gibt es auch nur eine logische Unmöglichkeit.
英1 As there is only a logical necessity, so there is only a logical impossibility.
英2 Just as the only necessity that exists is logical necessity, so too the only impossibility that exists is logical impossibility.
6.3751
独   Dass z.B. zwei Farben zugleich an einem Ort des Gesichtsfeldes sind, ist unmöglich, und zwar logisch unmöglich, denn es ist durch die logische Struktur der Farbe ausgeschlossen.
Denken wir daran, wie sich dieser Widerspruch in der Physik darstellt: Ungefähr so, dass ein Teilchen nicht zu gleicher Zeit zwei Geschwindigkeiten haben kann; das heißt, dass es nicht zu gleicher Zeit an zwei Orten sein kann; das heißt, dass Teilchen an verschiedenen Orten zu Einer Zeit nicht identisch sein können.
(Es ist klar, dass das logische Produkt zweier Elementarsätze weder eine Tautologie noch eine Kontradiktion sein kann. Die Aussage, dass ein Punkt des Gesichtsfeldes zu gleicher Zeit zwei verschiedene Farben hat, ist eine Kontradiktion.)
英1 For two colours, e.g. to be at one place in the visual field, is impossible, logical impossible, for it is excluded by the logical structure of colour.
Let us consider how this contradiction presents itself in physics. Somewhat as follows: That a particle cannot at the same time have two velocities, i.e. that at the same time it cannot be in two places, i.e. that particles in different places at the same time cannot be identical.
It is clear that the logical product of two elementary propositions can neither be a tautology nor a contradiction. The assertion that a point in the visual field has two different colours at the same time, is a contradiction.
英2 For example, the simultaneous presence of two colours at the same place in the visual field is impossible, in fact logically impossible, since it is ruled out by the logical structure of colour.
Let us think how this contradiction appears in physics: more or less as follows—a particle cannot have two velocities at the same time; that is to say, it cannot be in two places at the same time; that is to say, particles that are in different places at the same time cannot be identical.
(It is clear that the logical product of two elementary propositions can neither be a tautology nor a contradiction. The statement that a point in the visual field has two different colours at the same time is a contradiction.)
6.4
独   Alle Sätze sind gleichwertig.
英1 All propositions are of equal value.
英2 All propositions are of equal value.
6.41
独   Der Sinn der Welt muss außerhalb ihrer liegen. In der Welt ist alles, wie es ist, und geschieht alles, wie es geschieht; es gibt in ihr keinen Wert - und wenn es ihn gäbe, so hätte er keinen Wert.
Wenn es einen Wert gibt, der Wert hat, so muss er außerhalb alles Geschehens und So-Seins liegen. Denn alles Geschehen und So-Sein ist zufällig.
Was es nichtzufällig macht, kann nicht in der Welt liegen, denn sonst wäre dies wieder zufällig.
Es muss außerhalb der Welt liegen.
英1 The sense of the world must lie outside the world. In the world everything is as it is and happens as it does happen. In it there is no value -- and if there were, it would be of no value.
If there is a value which is of value, it must lie outside all happening and being-so. For all happening and being-so is accidental.
What makes it non-accidental cannot lie in the world, for otherwise this would again be accidental.
It must lie outside the world.
英2 The sense of the world must lie outside the world. In the world everything is as it is, and everything happens as it does happen: in it no value exists—and if it did exist, it would have no value.
If there is any value that does have value, it must lie outside the whole sphere of what happens and is the case. For all that happens and is the case is accidental.
What makes it non-accidental cannot lie within the world, since if it did it would itself be accidental.
It must lie outside the world.
6.42
独   Darum kann es auch keine Sätze der Ethik geben.
Sätze können nichts Höheres ausdrücken.
英1 Hence also there can be no ethical propositions.
Propositions cannot express anything higher.
英2 So too it is impossible for there to be propositions of ethics.
Propositions can express nothing that is higher.
6.421
独   Es ist klar, dass sich die Ethik nicht aussprechen lässt.
Die Ethik ist transzendental.
(Ethik und Ästhetik sind Eins.)
英1 It is clear that ethics cannot be expressed.
Ethics is transcendental.
(Ethics and æthetics are one.)
英2 It is clear that ethics cannot be put into words.
Ethics is transcendental.
(Ethics and aesthetics are one and the same.)
6.422
独   Der erste Gedanke bei der Aufstellung eines ethischen Gesetzes von der Form »Du sollst....« ist: Und was dann, wenn ich es nicht tue? Es ist aber klar, dass die Ethik nichts mit Strafe und Lohn im gewöhnlichen Sinne zu tun hat. Also muss diese Frage nach den Folgen einer Handlung belanglos sein. - Zum Mindesten dürfen diese Folgen nicht Ereignisse sein. Denn etwas muss doch an Jener Fragestellung richtig sein. Es muss zwar eine Art von ethischem Lohn und ethischer Strafe geben, aber diese müssen in der Handlung selbst liegen.
(Und das ist auch klar, dass der Lohn etwas Angenehmes, die Strafe etwas Unangenehmes sein muss.)
英1 The first thought in setting up an ethical law of the form "thou shalt . . ." is: And what if I do not do it? But it is clear that ethics has nothing to do with punishment and reward in the ordinary sense. This question as to the consequences of an action must therefore be irrelevant. At least thse consequences will not be events. For there must be something right in that formulation of the qustion. There must be some sort of ethical reward and ethical punishment, but this must lie in the action itself.
(And this is clear also that the reward must be something acceptable, and the punishment something unacceptable.)
英2 When an ethical law of the form, ‘Thou shalt …’ is laid down, one’s first thought is, ‘And what if I do not do it?’ It is clear, however, that ethics has nothing to do with punishment and reward in the usual sense of the terms. So our question about the consequences of an action must be unimportant.—At least those consequences should not be events. For there must be something right about the question we posed. There must indeed be some kind of ethical reward and ethical punishment, but they must reside in the action itself.
(And it is also clear that the reward must be something pleasant and the punishment something unpleasant.)
6.423
独   Vom Willen als dem Träger des Ethischen kann nicht gesprochen werden.
Und der Wille als Phänomen interessiert nur die Psychologie.
英1 Of the will as the subject of the ethical we cannot speak.
And the will as a phenomenon is only of interest to psychology.
英2 It is impossible to speak about the will in so far as it is the subject of ethical attributes.
And the will as a phenomenon is of interest only to psychology.
6.43
独   Wenn das gute oder böse Wollen die Welt ändert, so kann es nur die Grenzen der Welt ändern, nicht die Tatsachen; nicht das, was durch die Sprache ausgedrückt werden kann.
Kurz, die Welt muss dann dadurch überhaupt eine andere werden. Sie muss sozusagen als Ganzes abnehmen oder zunehmen.
Die Welt des Glücklichen ist eine andere als die des Unglücklichen.
英1 If good or bad willing changes the world, it can only change the limits of the world, not the facts; not the things that can be expressed in language.
In brief, the world must thereby become quite another, it must so to speak wax or wane as a whole.
The world of the happy is quite another than that of the unhappy.
英2 If the good or bad exercise of the will does alter the world, it can alter only the limits of the world, not the facts—not what can be expressed by means of language.
In short the effect must be that it becomes an altogether different world. It must, so to speak, wax and wane as a whole.
The world of the happy man is a different one from that of the unhappy man.
6.431
独   Wie auch beim Tod die Welt sich nicht ändert, sondern aufhört.
英1 As in death, too, the world does not change, but ceases.
英2 So too at death the world does not alter, but comes to an end.
6.4311
独   Der Tod ist kein Ereignis des Lebens. Den Tod erlebt man nicht.
Wenn man unter Ewigkeit nicht unendliche Zeitdauer, sondern Unzeitlichkeit versteht, dann lebt der ewig, der in der Gegenwart lebt.
Unser Leben ist ebenso endlos, wie unser Gesichtsfeld grenzenlos ist.
英1 Death is not an event of life. Death is not lived through.
If by eternity is understood not endless temporal duration but timelessness, then he lives eternally who lives in the present.
Our life is endless in the way that our visual field is without limit.
英2 Death is not an event in life: we do not live to experience death.
If we take eternity to mean not infinite temporal duration but timelessness, then eternal life belongs to those who live in the present.
Our life has no end in just the way in which our visual field has no limits.
6.4312
独   Die zeitliche Unsterblichkeit der Seele des Menschen, das heißt also ihr ewiges Fortleben auch nach dem Tode, ist nicht nur auf keine Weise verbürgt, sondern vor allem leistet diese Annahme gar nicht das, was man immer mit ihr erreichen wollte. Wird denn dadurch ein Rätsel gelöst, dass ich ewig fortlebe? Ist denn dieses ewige Leben dann nicht ebenso rätselhaft wie das gegenwärtige? Die Lösung des Rätsels des Lebens in Raum und Zeit liegt außerhalb von Raum und Zeit.
(Nicht Probleme der Naturwissenschaft sind ja zu lösen.)
英1 The temporal immortality of the human soul, that is to say, its eternal survival after death, is not only in no way guaranteed, but this assumption in the first place will not do for us what we always tried to make it do. Is a riddle solved by the fact that I survive for ever? Is this eternal life not as enigmatic as our present one? The solution of the riddle of life in space and time lies outside space and time.
(It is not problems of natural science which have to be solved.)
英2 Not only is there no guarantee of the temporal immortality of the human soul, that is to say of its eternal survival after death; but, in any case, this assumption completely fails to accomplish the purpose for which it has always been intended. Or is some riddle solved by my surviving for ever? Is not this eternal life itself as much of a riddle as our present life? The solution of the riddle of life in space and time lies outside space and time.
(It is certainly not the solution of any problems of natural science that is required.)
6.432
独   Wie die Welt ist, ist für das Höhere vollkommen gleichgültig. Gott offenbart sich nicht in der Welt.
英1 How the world is, is completely indifferent for what is higher. God does not reveal himself in the world.
英2 How things are in the world is a matter of complete indifference for what is higher. God does not reveal himself in the world.
6.4321
独   Die Tatsachen gehören alle nur zur Aufgabe, nicht zur Lösung.
英1 The facts all belong only to the task and not to its performance.
英2 The facts all contribute only to setting the problem, not to its solution.
6.44
独   Nicht wie die Welt ist, ist das Mystische, sondern dass sie ist.
英1 Not how the world is, is the mystical, but that it is.
英2 It is not how things are in the world that is mystical, but that it exists.
6.45
独   Die Anschauung der Welt sub specie aeterni ist ihre Anschauung als - begrenztes - Ganzes.
Das Gefühl der Welt als begrenztes Ganzes ist das mystische.
英1 The contemplation of the world sub specie aeterni is its contemplation as a limited whole.
The feeling that the world is a limited whole is the mystical feeling.
英2 To view the world sub specie aeterni is to view it as a whole—a limited whole.
Feeling the world as a limited whole—it is this that is mystical.
6.5
独   Zu einer Antwort, die man nicht aussprechen kann, kann man auch die Frage nicht aussprechen.
Das Rätsel gibt es nicht.
Wenn sich eine Frage überhaupt stellen lässt, so kann sie auch beantwortet werden.
英1 For an answer which cannot be expressed the question too cannot be expressed.
The riddle does not exist.
If a question can be put at all, then it can also be answered.
英2 When the answer cannot be put into words, neither can the question be put into words.
The riddle does not exist.
If a question can be framed at all, it is also possible to answer it.
6.51
独   Skeptizismus ist nicht unwiderleglich, sondern offenbar unsinnig, wenn er bezweifeln will, wo nicht gefragt werden kann.
Denn Zweifel kann nur bestehen, wo eine Frage besteht; eine Frage nur, wo eine Antwort besteht, und diese nur, wo etwas gesagt werden kann.
英1 Scepticism is not irrefutable, but palpably senseless, if it would doubt where a question cannot be asked.
For doubt can only exist where there is a question; a question only where there is an answer, and this only where something can be said.
英2 Scepticism is not irrefutable, but obviously nonsensical, when it tries to raise doubts where no questions can be asked.
For doubt can exist only where a question exists, a question only where an answer exists, and an answer only where something can be said.
6.52
独   Wir fühlen, dass, selbst wenn alle möglichen wissenschaftlichen Fragen beantwortet sind, unsere Lebensprobleme noch gar nicht berührt sind. Freilich bleibt dann eben keine Frage mehr; und eben dies ist die Antwort.
英1 We feel that even if all possible scientific questions be asnwered, the problems of life have still not been touched at all. Of course there is then no question left, and just this is the answer.
英2 We feel that even when all possible scientific questions have been answered, the problems of life remain completely untouched. Of course there are then no questions left, and this itself is the answer.
6.521
独   Die Lösung des Problems des Lebens merkt man am Verschwinden dieses Problems.
(Ist nicht dies der Grund, warum Menschen, denen der Sinn des Lebens nach langen Zweifeln klar wurde, warum diese dann nicht sagen konnten, worin dieser Sinn bestand?)
英1 The solution of the problem of life is seen in the vanishing of this problem.
(Is not this the reason why men to whom after long doubting the sense of life became clear, could not then say wherein this sense consisted?)
英2 The solution of the problem of life is seen in the vanishing of the problem.
(Is not this the reason why those who have found after a long period of doubt that the sense of life became clear to them have then been unable to say what constituted that sense?)
6.522
独   Es gibt allerdings Unaussprechliches. Dies zeigt sich, es ist das Mystische.
英1 There is indeed the inexpressible. This shows itself; it is the mystical.
英2 There are, indeed, things that cannot be put into words. They make themselves manifest. They are what is mystical.
6.53
独   Die richtige Methode der Philosophie wäre eigentlich die: Nichts zu sagen, als was sich sagen lässt, also Sätze der Naturwissenschaft - also etwas, was mit Philosophie nichts zu tun hat -, und dann immer, wenn ein anderer etwas Metaphysisches sagen wollte, ihm nachzuweisen, dass er gewissen Zeichen in seinen Sätzen keine Bedeutung gegeben hat. Diese Methode wäre für den anderen unbefriedigend - er hätte nicht das Gefühl, dass wir ihn Philosophie lehrten - aber sie wäre die einzig streng richtige.
英1 The right method of philosophy would be this: To say nothing except what can be said, i.e. the propositions of natural science, i.e. something that has nothing to do with philosophy: and then always, when someone else wished to say something metaphysical, to demonstrate to him that he had given no meaning to certain signs in his propositions. This method would be unsatisfying to the other -- he would not have the feeling that we were teaching him philosophy -- but it would be the only strictly correct method.
英2 The correct method in philosophy would really be the following: to say nothing except what can be said, i.e. propositions of natural science—i.e. something that has nothing to do with philosophy—and then, whenever someone else wanted to say something metaphysical, to demonstrate to him that he had failed to give a meaning to certain signs in his propositions. Although it would not be satisfying to the other person—he would not have the feeling that we were teaching him philosophy—this method would be the only strictly correct one.
6.54
独   Meine Sätze erläutern dadurch, dass sie der, welcher mich versteht, am Ende als unsinnig erkennt, wenn er durch sie - auf ihnen - über sie hinausgestiegen ist. (Er muss sozusagen die Leiter wegwerfen, nachdem er auf ihr hinaufgestiegen ist.)
Er muss diese Sätze überwinden, dann sieht er die Welt richtig.
英1 My propositions are elucidatory in this way: he who understands me finally recognizes them as senseless, when he has climbed out through them, on them, over them. (He must so to speak throw away the ladder, after he has climbed up on it.)
He must surmount these propositions; then he sees the world rightly.
英2 My propositions serve as elucidations in the following way: anyone who understands me eventually recognizes them as nonsensical, when he has used them—as steps—to climb up beyond them. (He must, so to speak, throw away the ladder after he has climbed up it.)
He must transcend these propositions, and then he will see the world aright.
7
独   Wovon man nicht sprechen kann, darüber muss man schweigen.
英1 Whereof one cannot speak, thereof one must be silent.
英2 What we cannot speak about we must pass over in silence.